Sinal de uma função quadrática é bastante similar a encontrar os zeros (ou raízes) da função. Vamos considerar f(x)=ax²+bx+c
Basta seguir dois simples passos:
I) Encontre as raízes da função. Você já deve saber, mas as raizes de uma função são os valores de x para os quais f(x)=0. Na nossa função, aplicamos ax²+bx+c=0, e usamos Bhaskara. Vamos chamar as raízes de x' e x'', onde x'<x''.
II)
A) Para uma função com duas raízes:
Se a>0, então a função é:
a) Negativa: se x' < x < x''
b) Positiva: se x < x' ou x > x''
c) Neutra: se x = x' ou x = x'' (este é óbvio, certo? Nos pontos onde f(x)=0, o sinal é neutro...)
Veja o arquivo em anexo para a função f(x) = x² - 1, onde as raízes são x'=-1 e x''=1. É fácil notar que a função começa maior do que 0, depois decresce, encontra o 0 na primeira raiz, fica negativa, faz a curva, volta a crescer, encontra outro zero na segunda raiz, e fica positiva. Portanto, entre as raízes, é negativa; nas raízes, é neutra (zero), e fora do intervalo das raízes é positiva. Não há necessidade de decorar, apenas entender.
Se a<0, então a função é:
a) Negativa: se x < x' ou x > x''
b) Positiva: se x' < x < x''
c) Neutra: se x = x' ou x = x''
Repare que só inverte o "positiva" com o "negativo". Também é fácil perceber o porquê. Veja o arquivo em anexo para f(x)=-x²+1, onde as raízes são x'=-1 e x''=1.
B) Para uma função com uma raiz:
Vamos considerar que a raiz é x'.
Se a>0, então a função é:
a) Positiva: se x ≠ x'
b) Neutra: se x = x'
Fácil entender o motivo. Se a função tem apenas uma raiz, ela toca apenas uma vez no ponto onde f(x)=0. Isso significa que ela decresce, toca no 0, e cresce novamente, sem nunca ficar negativa. Não há sequer o que se memorizar aqui, basta entender.
Se a<0, então a função é:
a) Negativa: se x ≠ x'
b) Neutra: se x = x'
Mesma razão vista no a>0, porém aqui a função é negativa, cresce até chegar em f(x)=0, e decresce novamente.
C) Para uma função com zero raízes:
Se a>0, a função é sempre positiva.
Se a<0, a função é sempre negativa.
Se precisar de um exemplo para este caso, ou alguma explicação, pode pedir. Mas acredito que seja fácil de visualizar mentalmente. Se o a>0 e a função nunca passa por f(x)=0, então ela nunca chega em um valor negativo. Mesma ideia para o a<0.
