Respondido

Se em todos os 100 números de um conjunto, cuja média é igual a 20 e o desvio padrão é igual a 10, somarmos uma mesma constante igual a 25, a nova média e o novo desvio padrão serão, respectivamente, iguais a:
a)45 e 10
b)45 e 35
c)45 e 110
d)250 e 10
e)não tem como calcular os valores

Resposta :

rikardoa
Para calcular a média fazemos:

[tex]m= \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} [/tex]

Foi dado que [tex]m=20[/tex]. Então:

[tex]m= \frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{100}=20 [/tex]

Assim, se se somarmos uma constante [tex]c=25[/tex] a todo elemento teremos:

[tex]m_1= \frac{(a_1+25)+(a_2+25)+...+(a_{100}+25)}{100} [/tex]

[tex]m_1= \frac{a_1+25+a_2+25+...+a_{100}+25}{100} [/tex]

[tex]m_1= \frac{25.100+a_1+a_2+...+a_{100}}{100} [/tex]

[tex]m_1= \frac{25.100}{100}+\frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{100} [/tex]

[tex]m_1= 25+m [/tex]

Logo a nova média será a média anterior mais 25. Como [tex]m=20[/tex], teremos:

[tex]m_1= 25+m [/tex]

[tex]m_1= 25+20 [/tex]

[tex]m_1= 45[/tex]

A nova média é 45.

Como o desvio padrão [tex]d[/tex] é soma das diferenças de todos os números pela média temos:

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 } [/tex]

Onde [tex]x_i[/tex] é cada item dos 100 números e [tex]m[/tex] a média dos 100 números. Sabemos que a nova média é [tex]m_1= 25+m [/tex] e os números somados com 25 ficam assim [tex]x_i+25[/tex]. Substituindo na fórmula do desvio padrão, teremos:

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 } [/tex]

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}((x_i+25)-m_1)^2 } [/tex]

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}((x_i+25)-(m+25))^2 } [/tex]

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i+25-m-25)^2 } [/tex]

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i+25-25-m)^2 } [/tex]

[tex]d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 } [/tex]

Podemos perceber que após as substituições a fórmula permaneceu a mesma. Logo, o desvio padrão permanece o mesmo, igual a [tex]10[/tex].

Portanto, a resposta é a letra [tex]a)[/tex].

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