(UFLA-MG) O valor da expressão numérica dada por(a expressão está em anexo!) é um número inteiro. Determine esse número.PS.: Esse é um exercício de Logarítmo. Fiquei em dúvida em relação ao desenvolvimento da conta. O valor de x = 17. Por gentiliza, alguém poderia desenvolver os cálculos para eu ver onde estou errando?

[tex](10+4 \sqrt{2})\log_2{[\frac{2^2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}}]}[/tex]

Primeiro resolvemos o produto da soma pela diferença:

[tex](\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)[/tex]

Onde [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex]. Assim:

[tex](\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2[/tex]

Agora, substituímos o resultado na expressão:

[tex](10+4 \sqrt{2})\log_2{[\frac{2^2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}}]}[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^2.2}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^2.2^1}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^3}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}[/tex]

Pela propriedade do logarítimo [tex]\log{\frac{a}{b}}=\log{a}-\log{b}[/tex]. Fazemos:

[tex](10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^3}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{(2^{\sqrt{2}}.\sqrt{2})})[/tex]

Pela propriedade do logarítimo [tex]\log{a.b}=\log{a}+\log{b}[/tex]. Fazemos:

[tex](10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-(\log_2{2^{\sqrt{2}}}+\log_2{\sqrt{2}})[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{\sqrt{2}})[/tex]

Sabemos que [tex]\sqrt{2}=\sqrt[2]{2^1}=2^{\frac{1}{2}}[/tex]. Então substituímos na expressão dentro do logarítimo:

[tex](10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{\sqrt{2}})[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{2^{\frac{1}{2}}})[/tex]

Pela propriedade do logarítimo [tex]\log{a^b}=b.\log{a}[/tex]. Fazemos:

[tex](10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{2^{\frac{1}{2}}})[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(3.\log_2{2}-\sqrt{2}.\log_2{2}-\frac{1}{2}.\log_2{2})[/tex]

Pela propriedade do logarítimo [tex]\log_a{a}=1[/tex]. Fazemos:

[tex](10+4 \sqrt{2})(3.\log_2{2}-\sqrt{2}.\log_2{2}-\frac{1}{2}.\log_2{2})[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(3.1-\sqrt{2}.1-\frac{1}{2}.1)[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(3-\sqrt{2}-\frac{1}{2})[/tex]

Agora basta simplificar. Assim:

[tex](10+4 \sqrt{2})(\frac{2.3-2.\sqrt{2}-1}{2})[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(\frac{6-1-2\sqrt{2}}{2})[/tex]

[tex](10+4 \sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})[/tex]

[tex](2.5+2.2\sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})[/tex]

[tex]2.(5+2\sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})[/tex]

Resolvendo o produto da soma pela diferença [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex]. Assim:

[tex]2.(5+2\sqrt{2})\frac{(5-2\sqrt{2})}{2}[/tex]

[tex]2.\frac{[5^2-(2\sqrt{2})^2]}{2}[/tex]

[tex]\frac{2}{2}.[25-2^2(\sqrt{2})^2][/tex]

[tex]1.(25-4.2)[/tex]

[tex]25-8[/tex]

[tex]17[/tex]