Resposta :
LOGARITMOS
Equações Logarítmicas (produto)
1a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{5}3+Log _{5}(x-2)=2 [/tex]
Como os logaritmos encontram-se na mesma base, podemos iguala-las, e aplicarmos a 1a propriedade, a do produto,
[tex]Log _{a}b+Log _{a}c=Log _{a}b*c [/tex]:
[tex]Log _{5}3*(x-2)=2 [/tex]
Aplicando a definição de Log,
[tex]Log _{a}b=x=>a ^{x}=b [/tex], temos:
[tex]5 ^{2}=3x-6 [/tex]
[tex]25=3x-6[/tex]
[tex]25+6=3x[/tex]
[tex]31=3x[/tex]
[tex]x=31/3[/tex]
Vemos que esta solução atende a condição de existência, logo:
Solução: {[tex] \frac{31}{3} [/tex]}
2a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{10}x+Log _{10}x=2 [/tex]
Aplicando as mesmas propriedades, vem:
[tex]Log _{10}x*x=2 [/tex]
[tex] x^{2} =10 ^{2} [/tex]
[tex]x= \frac{+}{}10 [/tex]
A solução -10, não atende a condição de existência, pois o logaritmando deve ser > 0, portanto:
Solução: {10}
3a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{2}x+Log _{2}(x-1)=1 [/tex]
[tex]Log _{2}x(x-1)=1 [/tex]
[tex] x^{2} -x=2 ^{1} [/tex]
[tex] x^{2} -x-2=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes x'=2 e x"= -1, o que pela condição de existência, somente 2, satisfaz, logo:
Solução: {2}
4a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{5}(x-3)+Log _{5}(x+2)=Log _{5}14 [/tex]
Como todas as bases são iguais, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:
[tex](x-3)(x+2)=14[/tex]
[tex] x^{2} +2x-3x-6-14=0[/tex]
[tex] x^{2} -x-20=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes x'=5 e x"= -4
O que pela condição de existência, só nos dá a 1a raiz como solução, logo:
Solução: {5}
5a EQUAÇÃO:
[tex]Log(x+5)+Log(x-4)=Log10[/tex]
Quando a base de um logaritmo está omitida, subintende-se que é base 10, estando todos os logaritmos na base 10, podemos cortar as bases:
[tex] x^{2} +x-30=0[/tex]
Obtemos x'=5 e x"= -6 como raízes ao resolvermos esta equação do 2° grau, mas como pela condição de existência, só x' atende, temos:
Solução: {5}
Equações Logarítmicas (produto)
1a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{5}3+Log _{5}(x-2)=2 [/tex]
Como os logaritmos encontram-se na mesma base, podemos iguala-las, e aplicarmos a 1a propriedade, a do produto,
[tex]Log _{a}b+Log _{a}c=Log _{a}b*c [/tex]:
[tex]Log _{5}3*(x-2)=2 [/tex]
Aplicando a definição de Log,
[tex]Log _{a}b=x=>a ^{x}=b [/tex], temos:
[tex]5 ^{2}=3x-6 [/tex]
[tex]25=3x-6[/tex]
[tex]25+6=3x[/tex]
[tex]31=3x[/tex]
[tex]x=31/3[/tex]
Vemos que esta solução atende a condição de existência, logo:
Solução: {[tex] \frac{31}{3} [/tex]}
2a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{10}x+Log _{10}x=2 [/tex]
Aplicando as mesmas propriedades, vem:
[tex]Log _{10}x*x=2 [/tex]
[tex] x^{2} =10 ^{2} [/tex]
[tex]x= \frac{+}{}10 [/tex]
A solução -10, não atende a condição de existência, pois o logaritmando deve ser > 0, portanto:
Solução: {10}
3a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{2}x+Log _{2}(x-1)=1 [/tex]
[tex]Log _{2}x(x-1)=1 [/tex]
[tex] x^{2} -x=2 ^{1} [/tex]
[tex] x^{2} -x-2=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes x'=2 e x"= -1, o que pela condição de existência, somente 2, satisfaz, logo:
Solução: {2}
4a EQUAÇÃO:
[tex]Log _{5}(x-3)+Log _{5}(x+2)=Log _{5}14 [/tex]
Como todas as bases são iguais, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:
[tex](x-3)(x+2)=14[/tex]
[tex] x^{2} +2x-3x-6-14=0[/tex]
[tex] x^{2} -x-20=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes x'=5 e x"= -4
O que pela condição de existência, só nos dá a 1a raiz como solução, logo:
Solução: {5}
5a EQUAÇÃO:
[tex]Log(x+5)+Log(x-4)=Log10[/tex]
Quando a base de um logaritmo está omitida, subintende-se que é base 10, estando todos os logaritmos na base 10, podemos cortar as bases:
[tex] x^{2} +x-30=0[/tex]
Obtemos x'=5 e x"= -6 como raízes ao resolvermos esta equação do 2° grau, mas como pela condição de existência, só x' atende, temos:
Solução: {5}