Resposta :
Nas equações irracionais você tem que, basicamente, elevar ao quadrado pra eliminar os radicais, resolver uma equação do segundo grau e verificar as raízes pra ver se alguma delas não satisfaz a equação inicial (ao elevar ao quadrado podem-se introduzir algumas raízes, por causa da equação do segundo grau). Aqui não vou resolver as equações do segundo grau, mas direi as raízes.
[tex]a) \ \sqrt{2x-1} = x-2 \Rightarrow 2x-1 = x^2-4x-4 \Rightarrow x^2 -6x-5=0 \\ \underline{x=1} \ ou \ \underline{x=5}[/tex]
Substituindo ambos os valores na equação vemos que, para x=1, não faz sentido falar de [tex]\sqrt{2x-1}[/tex], pois isso seria igual a x-2 = -1. Logo o conjunto solução é:
[tex]\boxed{S= {5}}[/tex]
[tex]b) \ 5\sqrt{6-m} +10m = 5m \Rightarrow 5\sqrt{6-m} = -5m \Rightarrow \sqrt{6-m} = -m \Rightarrow \\ \Rightarrow m^2 = 6-m \Rightarrow m^2 + m - 6 =0 \\ \underline{m=-3} \ ou \ \underline{m=2}[/tex]
Aqui temos o mesmo problema: substituindo pra conferir se são mesmo raízes temos que, quando m=2, não terá sentido dizer que [tex]\sqrt{6-m} = -m[/tex], já que raiz quadrada é sempre um número positivo. Logo a solução é:
[tex]\boxed{S = {-3}}[/tex]
[tex]c) \ \sqrt{2+\sqrt{y}} = \sqrt{5+y} \Rightarrow 2+\sqrt{y} = 5+y \Rightarrow \sqrt{y} = y+3 \Rightarrow \\ \Rightarrow y = y^2 + 6y + 9 \Rightarrow y^2+5y+9 = 0 \\ \\ \Delta = 25 - 36<0[/tex]
Como o delta é menor que zero temos que não existe solução para a equação irracional.
[tex]\boxed{S = \emptyset}[/tex]
[tex]d) \ \sqrt{x} + \sqrt{x+7} = 7 \Rightarrow x+2\sqrt{x}.\sqrt{x+7} + x+7 = 49 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt{x}.\sqrt{x+7} = 42-2x \Rightarrow \sqrt{x(x+7)} = 21-x \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2+7x = 441 - 42x + x^2 \Rightarrow 49x = 441 \Rightarrow \underline{x=9} \\ \\ \boxed{S={9}}[/tex]
[tex]a) \ \sqrt{2x-1} = x-2 \Rightarrow 2x-1 = x^2-4x-4 \Rightarrow x^2 -6x-5=0 \\ \underline{x=1} \ ou \ \underline{x=5}[/tex]
Substituindo ambos os valores na equação vemos que, para x=1, não faz sentido falar de [tex]\sqrt{2x-1}[/tex], pois isso seria igual a x-2 = -1. Logo o conjunto solução é:
[tex]\boxed{S= {5}}[/tex]
[tex]b) \ 5\sqrt{6-m} +10m = 5m \Rightarrow 5\sqrt{6-m} = -5m \Rightarrow \sqrt{6-m} = -m \Rightarrow \\ \Rightarrow m^2 = 6-m \Rightarrow m^2 + m - 6 =0 \\ \underline{m=-3} \ ou \ \underline{m=2}[/tex]
Aqui temos o mesmo problema: substituindo pra conferir se são mesmo raízes temos que, quando m=2, não terá sentido dizer que [tex]\sqrt{6-m} = -m[/tex], já que raiz quadrada é sempre um número positivo. Logo a solução é:
[tex]\boxed{S = {-3}}[/tex]
[tex]c) \ \sqrt{2+\sqrt{y}} = \sqrt{5+y} \Rightarrow 2+\sqrt{y} = 5+y \Rightarrow \sqrt{y} = y+3 \Rightarrow \\ \Rightarrow y = y^2 + 6y + 9 \Rightarrow y^2+5y+9 = 0 \\ \\ \Delta = 25 - 36<0[/tex]
Como o delta é menor que zero temos que não existe solução para a equação irracional.
[tex]\boxed{S = \emptyset}[/tex]
[tex]d) \ \sqrt{x} + \sqrt{x+7} = 7 \Rightarrow x+2\sqrt{x}.\sqrt{x+7} + x+7 = 49 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt{x}.\sqrt{x+7} = 42-2x \Rightarrow \sqrt{x(x+7)} = 21-x \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2+7x = 441 - 42x + x^2 \Rightarrow 49x = 441 \Rightarrow \underline{x=9} \\ \\ \boxed{S={9}}[/tex]