(FUVEST - 05) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.
Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
Nesta comemoração, havia 17 mulheres.
Sendo h o número de homens e m o número de mulheres, se cada homem cumprimenta outro homem (exceto a si mesmo) com um aperto de mão na entrada e na saída, o número de apertos de mão entre homens é:
x' = 2.h(h-1)/2
x' = h² - h
O número de apertos de mão entre homens e mulheres é:
x'' = h.m
Sabendo que x' + x'' = 720 e que h + m = 37, podemos escrever:
720 = h² - h + h.m
720 = (37 - m)² - (37 - m) + (37 - m)m
720 = 1369 - 74m + m² - 37 + m + 37m - m²
720 = 1332 - 36m
36m = 612
m = 17
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