(PUC-SP) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores, x e y, sob ângulos de 30 e 60 com a horizontal, como mostra a figura a seguir:http://imageshack.us/scaled/landing/26/trianguloo.jpg
Se a distancia entre os observadores é de 40m, qual é, aproximadamente, a altura da torre?
dxy = 40
alto da torre = t
triangulo formado pelo alto da torre com os observadores : xyt
para o observador x, o ângulo externo do triângulo xyt é 60º
o ângulo interno oposto de 60º é 30º
Como o valor do angulo interno é igual à soma dos internos opostos, temos que:
60 = 30+30 --> o triângulo tem dois ângulos iguais, logo terá dois lados iguais...
o lado tx = 40m
torre = t
ângulo = 60º
sen 60 = t/40
\/3/2 = t/40
2t = 40\/3
t = 40\/3/2
t = 20\/3 ou
t = 20 x 1,73
t ~ 34,6 m
A altura da torre é, aproximadamente, 35 metros.
Vamos considerar que o segmento AX possui medida z e a altura da torre é igual a h.
Sabemos que a tangente é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um determinado ângulo.
Na figura, temos que o cateto TA é oposto aos ângulos de 30° e 60°. Já os catetos AY e AX são adjacentes aos ângulos de 30° e 60°, respectivamente.
No triângulo TAY, temos que:
[tex]tg(30)=\frac{h}{40+z}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{40+z}[/tex]
e no triângulo TAX, temos que:
[tex]tg(60)=\frac{h}{z}[/tex]
[tex]\sqrt{3}=\frac{h}{z}[/tex].
De [tex]\sqrt{3}=\frac{h}{z}[/tex], podemos dizer que h = z√3.
Substituindo o valor de h em [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{40+z}[/tex] obtemos:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{z\sqrt{3}}{40+z}[/tex]
[tex]\frac{1}{3}=\frac{z}{40+z}[/tex]
40 + z = 3z
2z = 40
z = 20 metros.
Logo,
h = 20√3 m, que é aproximadamente, 35 metros.
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