SISTEMA LINEAR POR ESALONAMENTO
UM NUTRICIONISTA DESEJA PREPARAR UMA REFEIÇAO DIARIA EQUILIBRADA EM VITAMINAS A,B,C. PARA ISSO ELE DISPOE DE 3 TIPOS DE ALIMENTOS X,Y,Z. O ALIMENTO X POSSUI UMA UNIDADE DE VITAMINA A, 10 UNIDADES DE VITAMINA A, 1 UNIDADE DE VITAMINA C. O ALIMENTO Y POSSUI 9 UNIDADES DE VITAMINA A, 1 UNIDADE DE VITAMINA B E 1 UNIDADE DE VITAMINA C. O ALIMENTO Z POSSUI 2 UNIDADES DE VITAMINA A, 2 UNIDADES DE VITAMINA B E 4 UNIDADES DE VITAMINA C. SABENDO QUE PARA UMA ALIMENTACAO DIARIA EQUILIBRADA EM VITAMINA DEVE CONTER 160 UNIDADES DE VITAMINA A, 170 UNIDADES DE VITAMINA B E 140 UNIDADES DE VITAMINA C, QUAIS QUANTIDADES DE ALIMENTOS X , Y, Z, DEVERAO SER UTILIZADOS NA REFEICAO?
Olá, Lanaysa.
Sejam [tex]x, y \text{ e } z[/tex] as quantidades dos alimentos X, Y e Z.
A quantidade de vitamina A em x unidades do alimento X, y unidades do alimento Y
e z unidades do alimento Z é:
[tex]Q(A) = x + 9y + 2z[/tex]
A quantidade de vitamina B em x unidades do alimento X, y unidades do alimento Y
e z unidades do alimento Z é:
[tex]Q(B) = 10x + y + 2z[/tex]
A quantidade de vitamina C em x unidades do alimento X, y unidades do alimento Y
e z unidades do alimento Z é:
[tex]Q(C) = x + y + 4z[/tex]
A alimentação ideal deve obedecer as seguintes condições:
[tex]\begin{cases} Q(A) = 160 \\ Q(B) = 170 \\ Q(C) = 140 \end{cases}[/tex]
[tex] \Rightarrow \begin{cases} x + 9y + 2z = 160 \\ 10x + y + 2z = 170 \\ x + y + 4z = 140 \end{cases}[/tex]
Escalonamento:
[tex]\left[\begin{array}{cccc}1 &9 &2 &160 \\10 &1 &2 &170 \\1 &1 &4 &140\end{array}\right](L_2-10L_1)\\\\\\ \left[\begin{array}{cccc}10 &90& 20 &1600 \\ 0 &-89 &-18 &-1430 \\ 1 &1 &4 140 &10 \end{array}\right](L_3-L_1)\\\\\\ \left[\begin{array}{cccc}10 &90& 20 &1600 \\ 0 &-89 &-18 &-1430 \\ 0 &-80 &20 &-200\end{array}\right](89L_3 - 80L_2)\\\\\\ \left[\begin{array}{cccc}10 &90 &20 &1600 \\ 0 &-89 &-18 &-1430 \\ 0 &0 &3220 &96600\end{array}\right] [/tex]
Solução após o escalonamento:
[tex]\begin{cases}3220z=96600 \Rightarrow \boxed{z=30} \\\\ -89y-18 \cdot 30=-1430 \Rightarrow 89y = 890 \Rightarrow \boxed{y=10} \\\\ x+y+4z=140 \Rightarrow x+10+120=140 \Rightarrow \boxed{x=10} \end{cases}[/tex]
Portanto, as quantidades de alimentos X, Y e Z são, respectivamente, 10, 10 e 30 unidades.
Deverão ser utilizados na refeição 10 alimentos x, 10 alimentos y e 30 alimentos z.
Com as informações do enunciado, temos o seguinte sistema linear:
{x + 9y + 2z = 160
{10x + y + 2z = 170
{x + y + 4z = 140.
Como precisamos resolver o sistema pelo método de escalonamento, então devemos escrevê-lo na seguinte forma: [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&9&2|160\\10&1&2|170\\1&1&4|140\end{array}\right][/tex].
Agora, devemos fazer operações entre linhas de modo a obter um triângulo de zeros no canto inferior esquerdo.
Fazendo L₂ → L₂ - 10L₁:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&9&2|160\\0&-89&-18|-1430\\1&1&4|140\end{array}\right][/tex].
Fazendo L₃ → L₃ - L₁:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&9&2|160\\0&-89&-18|-1430\\0&-8&2|-20\end{array}\right][/tex].
Fazendo L₂ → -L₂/89:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&9&2|160\\0&1&\frac{18}{89}|\frac{1460}{89}}\\0&-8&2|-20\end{array}\right][/tex].
Fazendo L₃ → L₃ + 8L₂:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&9&2|160\\0&1&\frac{18}{89}|\frac{1430}{89}}\\0&0&\frac{322}{89}|\frac{9660}{89}\end{array}\right][/tex].
Com isso, temos um novo sistema linear:
{x + 9y + 2z = 160
{y + 18z/89 = 1430/89
{322z/89 = 9660/89.
Da terceira equação podemos afirmar que:
322z = 9660
z = 30.
Substituindo o valor de z na segunda equação:
y + 18.30/89 = 1430/89
y + 540/89 = 1430/89
y = 1430/89 - 540/89
y = 890/89
y = 10.
Substituindo os valores de y e z na primeira equação:
x + 9.10 + 2.30 = 160
x + 90 + 60 = 160
x = 160 - 150
x = 10.
Portanto, as quantidades de alimentos x, y e z são, respectivamente, iguais a 10, 10 e 30.
Exercício de sistema linear: https://brainly.com.br/tarefa/19598700
