Resposta :
Olá CAmanda,
Antes de tudo, é necessário relembrar algumsa propriedades de logaritmo.
I) [tex]Log_a c = b \rightarrow a^b = c[/tex]
II) [tex]Log_a b = Log_a c \rightarrow b = c[/tex]
III) [tex]Log_a b = \frac{log_c a}{log_c b}[/tex]
IV) [tex]Log_a b + Log_a c \rightarrow Log_a bc[/tex]
a) [tex]Log_4 x + Log_4 (x - 3) = 1[/tex]
De acordo com a terceira propriedade, mudança de base, iremos levar para base 10 que facilita a resolução de alguns problemas.
[tex]\frac{Log x + Log (x - 3)}{Log 4} = 1[/tex]
Pela quarta propriedade:
[tex]\frac{Log x(x - 3)}{Log 4} = 1[/tex]
Vamos passar o [tex]Log 4[/tex] multiplicando para o segundo lado da equação:
[tex]Log x(x - 3) = Log 4[/tex]
Pela segunda propriedade:
[tex]x(x - 3) = 4[/tex]
[tex]x^2 - 3x - 4 = 0[/tex]
Resolvendo essa equação do segundo grau iremos encontrar duas raízes.
[tex]\boxed{x' = -1}[/tex]
[tex]\boxed{x" = 4}[/tex]
Como nos reais ([tex]\mathb{R}[/tex]) não existe logaritmo de número negativo, concluímos que a solução para esse problema é x" = 4. Você também poderia verificar substituindo nas equações e veria que o resultado seria diferente.
b) [tex]Log (x - 5) + log(2x - 20) = 1 + Log(3x - 35)[/tex]
Sabe-se que quando o logaritmando e a base são iguais, o resultado é 1. Fazendo o caminho inverso, traremos a equivalência de 1 com base 10 (já que todos os outros estão com base dez, o que fica subentendido quando as bases não são citadas).
[tex]\therefore 1 = Log_{10} 10[/tex]
Pela propriedade número 4:
[tex]Log (x - 5)(2x - 20) = Log 10(3x - 35)[/tex]
Pela propriedade número 2:
[tex](x - 5)(2x - 20) = 10(3x - 35)[/tex]
[tex]2x^2 - 20x - 10x + 100 = 30x - 350[/tex]
[tex]2x^2 - 30x - 30x + 100 + 350 = 0[/tex]
[tex]2x^2 - 60x + 450 = 0[/tex]
Simplificando tudo por 2:
[tex]x^2 - 30x + 225 = 0[/tex]
Resolvendo essa equação do segundo grau, iremos obter a solução:
[tex]\boxed{x = 15}[/tex]
c) [tex]Log_16 {4log_2 [1 + 4log2 x]} = \frac{-1}{2}[/tex]
CAmanda, você poderia por favor explicar melhor essa alternativa c? Não está claro quem é base, quem é logaritmando, etc. Assim que você explicar (pode ser por mensagem), eu edito minha resposta e completo com a resolução para esta c.