Resposta :
Fazendo essa questão pela combinação de 10 a 3 temos:
[tex]Cn,p=\frac{n!}{p!(n-p)!}\\\\ C10,3 = \frac{10!}{3!(10-3)!}\\\\ C10,3 = \frac{10!}{3!(7)!}\\\\ C10,3 = \frac{10.9.8.7!}{3!(7)!}\\\\ C10,3 = \frac{10.9.8}{3!}\\\\C10,3=\frac{10.9.8}{2.3}\\\\C10,3 =120\\ [/tex]
Logo são 120 resultados possíveis
Sejam [tex]\text{c}_1, \text{c}_2, \text{c}_3, \text{c}_4, ..., \text{c}_{10}[/tex] os cavalos participantes da corrida.
Consideremos os três primeiros colocados: [tex](\text{c}_1, \text{c}_2, \text{c}_3)[/tex].
Observemos que:
[tex](\text{c}_1, \text{c}_2, \text{c}_3)=(\text{c}_1, \text{c}_3, \text{c}_2)=(\text{c}_2, \text{c}_1, \text{c}_3)=(\text{c}_2, \text{c}_3, \text{c}_1)=(\text{c}_3, \text{c}_2, \text{c}_1)=(\text{c}_3, \text{c}_1, \text{c}_2)[/tex]
O que implica que a ordem dos três primeiros colocados não importa.
Desta maneira, teremos que utilizar a ideia de combinação, como segue:
A fórmula para o cálculo de combinação simples é dada por:
[tex]\text{C}^{\text{k}}_{\text{n}}=\binom{\text{n}}{\text{k}}=\dfrac{\text{n}!}{\text{k}!\cdot(\text{n}-\text{k})!}[/tex]
Onde [tex]\text{n}[/tex] é o total de elementos e [tex]\text{k}[/tex] o número de elementos escolhidos.
Desse modo, podemos afirmar que:
O número de resultados possíveis para os três primeiros colocados é definido por [tex]\binom{10}{3}[/tex].
Desenvolvendo, temos:
[tex]\binom{10}{3}=\dfrac{10!}{3!\cdot(10-3)!}=\dfrac{10!}{3!\cdot7!}=120[/tex]
Logo, há [tex]120[/tex] resultados possíveis para os três primeiros colocados em tal corrida.