Resposta :
Primeiro vamos um sistema com os dados que temos [tex]\left \{ {{a+b=6} \atop {a^2+b^2=68}} \right.[/tex]
Vamos isolar o valor de a na primeira equação, tendo a=6-b e substituir esse valor na segunda equação. [tex](6-b)^2+b^2=68 => 36-12b+b^2+b^2=68=>2b^2-12b-32=0[/tex]
[tex]b^2-6b-16=0[/tex]
Depois disso usaremos bhaskará para acha os valores de b, e encontraremos [tex]b_{1}=-2 \ \ \ \ \ b_{2}=8[/tex]
Substituiremos o valor de b=-2 na primeira equação e encontraremos a =8
Substituiremos o valor de b=8 na primeira equação e encontraremos a=-2
A modulo da diferença, em ambos os casos terá o mesmo valor 10 ==> |8-(-2)| ==> |8+2| => 10 e ===>|-2-8|=> |-10|=> 10
Um abraço ai.
Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:
[tex]\mathsf{x+y=6\qquad (i)}[/tex]
Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:
[tex]\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}[/tex]
Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:
[tex]\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}[/tex]
Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:
[tex]\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}[/tex]
Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:
[tex]\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}[/tex]
Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:
[tex]\mathsf{x^2+y^2=68}[/tex]
Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:
[tex]\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}[/tex]
E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:
[tex]\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\ \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}[/tex]
Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.
Resposta:
[tex]\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}[/tex]
- Item correto: E).
Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.