Resposta :
A equação da reta tangente é dada pela primeira derivada da função.
Assim, as equações das retas nos casos do presente exercício são:
a) f'´(x)= 2x
f´(1) = 2
f`(0) = 0
b) f´(x)=3x-5
f´(1/2)=-7/2
Resposta:
Letra(a):
No Ponto x=1 => f(x)=2x - 2
No Ponto x=0 => f(x)= -1 é uma constante paralela ao eixo dos "x" com inclinação "0".
Letra (b):
f(x) = -2x + 0,75
Explicação passo a passo:
Solução
Letra(a): f(x) = x^2 -1 No Ponto x=1
Formula da reta tangente: f(x) - f(a) = f'(a) (x - a) (1), onde f'(a) é a inclinação da reta no ponto, que determinaremos usando a derivada primeira.
f(1) = 1^2 - 1 = 0
f'(x) = 2x => f'(1) = 2(1) = 2, substituindo na equação (1) temos:
f(x) - f(1) = f'(1)(x - 1) => f(x) - 0 = 2(x - 1) => f(x)=2x - 2, esta é a equação da reta que tangencia a parábola x^2 -1 no ponto x=1.
No Ponto x=0
f(1) = 0^2 - 1 = -1
f'(x) = 2x => f'(0) = 2(0) = 0, substituindo na equação (1) temos:
f(x) - f(1) = f'(1)(x - 1) => f(x) - (-1) = 0(x - 0) => f(x)= -1,
Então no ponto x=0 temos uma reta com inclinação "0" (constante) que passa em f(x)= -1
Letra (b) f(x)=x(3x-5); x=1/2
f(1/2)= 1/2(3(1/2)-5)= -1,75
f'(x)=[x(3x-5)]', usando a regra do produto de derivadas => (u.v)' = u'v+uv'
u=x => u'=1
v=3x-5 => v'=3, então f'(x) = (1)(3x-5) + x (3) = 3x-5+3x => f'(x)= 6x-5
f'(1/2)= 6(1/2) -5 = 3 - 5 = -2
substituindo na equação (1) temos:
f(x) - f(1/2) = f'(1/2)(x - 1/2) => f(x) - (-1,75) = -2(x - 1/2) => f(x) + 1,75= -2x + 1
=> f(x) = -2x + 1 - 1,75 => f(x) = -2x + 0,75 esta é a equação da reta que tangencia a função x(3x-5) no ponto 1/2.