Resposta :
Antes de mais nada, vamos analisar de modo simples e concreta o funcionamento de um equação do segundo grau.
Tomemos o exemplo abaixo:
5x2 - 3x - 2 = 0 Fórmula: x = - b +- Raíz de Delta = +3 +- 7
_______________ _____
Delta: b² - 4.a.c 2.a 10
(-3)² - 4.5.(-2) x' = 3 + 7 = 10/10 = 1
9 + 40 x" = 3 - 7 = -4/10 = -0,4
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Não há uma outra fórmula mais fácil para se fazer uma equação do 2° grau, mas há atalhos. Mas neste caso precisa-se ter bastante conhecimento da equação, para não precisar, assim, fazê-la passo a passo como eu mostrei acima. Mas com o tempo e prática, tudo fica mais fácil, por mais que não seja a maneira mais fácil, porque também na verdade a maneira mais fácil, na matemática, é sempre aquela mais longa, onde a pessoa fica fazendo passo a passo da conta. É isso.
Uma equação do [tex]2^{\circ}[/tex] pode ser escrita, como segue:
[tex]\text{a}\text{x}^2+\text{b}{\text{x}+\text{c}=0[/tex], com [tex]\text{a}\ne0[/tex]
Onde [tex]\text{a}[/tex], [tex]\text{b}[/tex] e [tex]\text{c}[/tex] são os coeficientes da equação.
As raízes de uma equação do [tex]2^{\circ}[/tex] podem ser encontradas através da seguinte fórmula:
[tex]\text{x}=\dfrac{-\text{b}\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot\text{a}}[/tex]
Onde, [tex]\Delta=\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}[/tex]
Observe que:
Se [tex]\Delta<0[/tex], a equação não possui raízes reais.
Se [tex]\Delta=0[/tex], a equação possui apenas uma raiz real.
Se [tex]\Delta>0[/tex], a equação possui duas raízes reais.
Ex:
[tex]\text{x}^2+2\text{x}-3=0[/tex]
Observe que:
[tex]\text{a}=1[/tex], [tex]\text{b}=2[/tex] e [tex]\text{c}=-3[/tex]
Desta maneira, temos que:
[tex]\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16[/tex]
Como [tex]\Delta>0[/tex], podemos afirmar que, a equação dada possui duas raízes reais.
Contudo, obtemos:
[tex]\text{x}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}[/tex]
Note que [tex]\sqrt{16}=\pm4[/tex], então, segue que:
[tex]\text{x}=\dfrac{-2\pm4}{2}[/tex]
[tex]\text{x}'=\dfrac{-2+4}{2}=1[/tex]
[tex]\text{x}"+\dfrac{-2-4}{2}=-3[/tex]
De fato, uma vez que:
[tex]1^2+2\cdot1-3=0[/tex]
[tex]1+2-3=0[/tex]
Analogamente, observe que:
[tex](-3)^2+2\cdot(-3)-3=0[/tex]
[tex]9-6-3=0[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que:
[tex]\text{S}=\{-3, 1\}[/tex]