✅ A equação é verdadeira para n = 4.
✍️ Solução: Desenvolvendo o fatorial de um número natural [tex]\rm n[/tex] pela definição, resulta que
[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm 21&=\rm \dfrac{(n-2)!}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-3)(n-2)}+\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\\\\&=\rm \dfrac{(n-2)!}{(n-2)!}+\dfrac{n(n+1)(n-1)!}{(n-1)!} \\\\&=\rm 1+n(n+1) \end{aligned}\end{array}[/tex]
i.e., o problema recai em uma equação do segundo grau, cujo conjunto universo é [tex]\mathbb{N}[/tex], por causa da definição do fatorial de [tex]\rm n[/tex], logo
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm n^2+n-20=0\Rightarrow\\\\\begin{aligned}\rm n&=\rm \dfrac{-1\mp\sqrt{1-4(-20)}}{2}\\\\&=\rm \dfrac{-1+\sqrt{81}}{2}\\\\&=\rm \dfrac{-1+9}{2}\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: n=4 }}}}\end{array}[/tex]
✔️ Veja que a partir da segunda passagem excluí a solução inteira, pois não nos interessa. Qualquer dúvida é só chamar.
⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre fatorial, equações:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
