Resposta :
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Explicação passo a passo:
Para resolver este problema, primeiro precisamos calcular o baricentro do triângulo, que é o ponto de encontro das medianas. Em seguida, podemos calcular os comprimentos das medianas.
**a) Coordenadas do Baricentro:**
O baricentro de um triângulo com vértices (x₁, y₁), (x₂, y₂) e (x₃, y₃) é dado pelas coordenadas:
\[ \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \]
Para o triângulo dado, com vértices (2, -1), (4, -3) e (-2, -5), podemos calcular o baricentro da seguinte forma:
\[ \left( \frac{2 + 4 - 2}{3}, \frac{-1 - 3 - 5}{3} \right) \]
\[ \left( \frac{4}{3}, \frac{-9}{3} \right) \]
\[ \left( \frac{4}{3}, -3 \right) \]
Portanto, as coordenadas do baricentro são (4/3, -3).
**b) Comprimentos das Medianas:**
Para calcular os comprimentos das medianas, primeiro precisamos encontrar os pontos médios dos lados do triângulo, que são as metades dos segmentos formados pelos vértices e o baricentro. Em seguida, calcularemos a distância entre cada vértice e o baricentro, o que nos dará o comprimento das medianas.
Seja \(M_{ij}\) o ponto médio do lado formado pelos vértices \(P_i\) e \(P_j\), e \(G\) o baricentro do triângulo. Então, a mediana de \(P_i\) é o segmento \(GM_{ij}\).
Vamos calcular os pontos médios \(M_{ij}\) para os três lados:
Para o lado formado pelos vértices (2, -1) e (4, -3):
\[ M_{12} = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{-1 - 3}{2} \right) = (3, -2) \]
Para o lado formado pelos vértices (4, -3) e (-2, -5):
\[ M_{23} = \left( \frac{4 - 2}{2}, \frac{-3 - 5}{2} \right) = (1, -4) \]
Para o lado formado pelos vértices (-2, -5) e (2, -1):
\[ M_{13} = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{-5 - 1}{2} \right) = (0, -3) \]
Agora, vamos calcular a distância entre cada vértice e o baricentro:
Para o vértice (2, -1):
\[ d(P_1, G) = \sqrt{(4/3 - 2)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(4/3 - 2)^2 + (-2)^2} \]
Para o vértice (4, -3):
\[ d(P_2, G) = \sqrt{(4/3 - 4)^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(4/3 - 4)^2} \]
Para o vértice (-2, -5):
\[ d(P_3, G) = \sqrt{(4/3 + 2)^2 + (-3 - (-5))^2} = \sqrt{(4/3 + 2)^2 + 2^2} \]
Então, os comprimentos das medianas são as distâncias \(d(P_i, G)\) calculadas acima.
Calculando as distâncias:
\[ d(P_1, G) = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - 2\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right)^2 + 4} = \sqrt{\left(\frac{-2}{3}\right)^2 + 4} = \sqrt{\frac{4}{9} + 4} = \sqrt{\frac{40}{9}} = \frac{2\sqrt{10}}{3} \]
\[ d(P_2, G) = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - 4\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - \frac{12}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{-8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3} \]
\[ d(P_3, G) = \sqrt{\left(\frac{4}{3} + 2\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3} + \frac{6}{3}\right)^2 + 4} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 + 4} = \sqrt{\frac{100}{9} + 4} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3} \]
Portanto, os comprimentos das medianas são:
- Para a mediana partindo de (2, -1): \( \frac{2\sqrt{10}}{3} \)
- Para a mediana partindo de (4, -3): \( \frac{8}{3} \)
- Para a mediana partindo de (-2, -5): \( \frac{2\sqrt{34}}{3} \)
[tex]\Large \text{$ \sf A(2,-1) \Leftrightarrow B(4,-3) \Leftrightarrow C(-2,-5)$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} = \dfrac{2 + 4 - 2}{3} = \dfrac{4}{3} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} = \dfrac{-1 - 3 - 5}{3} = -\dfrac{9}{3} = -3 $}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf G(x_G,y_G) = G\left(\dfrac{4}{3},-3\right) $}}}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf m_{AB} = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\dfrac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{2 + 4}{2},\dfrac{-1 -3}{2}\right) = (3,-2)$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf m_{AC} = \left(\dfrac{x_A + x_C}{2},\dfrac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{2 - 2}{2},\dfrac{-1 -5}{2}\right) = (0,-3)$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf m_{BC} = \left(\dfrac{x_B + x_C}{2},\dfrac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{4 - 2}{2},\dfrac{-3 -5}{2}\right) = (1,-4)$}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{AB}C} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-2 + 5)^2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{AB}C} = \sqrt{5^2 + 3^2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{AB}C} = \sqrt{25 + 9} $}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf d_{m_{AB}C} = \sqrt{34} $}}}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{AC}B} = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-3 + 3)^2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{AC}B} = \sqrt{4^2 + 0^2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{AC}B} = \sqrt{16} $}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf d_{m_{AC}B} = 4 $}}}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{BC}A} = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-4 + 1)^2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{BC}A} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} $}[/tex]
[tex]\Large \text{$ \sf d_{m_{BC}A} = \sqrt{1 + 9} $}[/tex]
[tex]\Large \boxed{\boxed{\text{$ \sf d_{m_{BC}A} = \sqrt{10} $}}}[/tex]