Desvendando o mistério do polinômio interpolador e o valor de f(2.5)!
1. Calculando as diferenças divididas de Newton:
Para encontrar o polinômio interpolador usando diferenças divididas de Newton, vamos seguir estes passos:
Passo 1: Organize os pontos em uma tabela:
x f(x)
2 3
3 5
4 8
5 12
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Passo 2: Calcule as diferenças divididas:
Ordem x_i f(x_i) Δf_i(x_i, x_{i+1}) Δ^2f_i(x_i, x_{i+1}, x_{i+2}) Δ^3f_i(x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3})
0 2 3 - - -
1 3 5 2 - -
2 4 8 3 1 -
3 5 12 4 1 -
Passo 3: Construa o polinômio interpolador:
O polinômio interpolador de segundo grau (já que temos 4 pontos) é dado por:
P(x) = f(x_0) + Δf_0(x_0, x_1)(x - x_0) + Δ^2f_0(x_0, x_1, x_2)(x - x_0)(x - x_1) / 2!
Substituindo os valores da tabela:
P(x) = 3 + 2(x - 2) + (x - 2)(x - 3) / 2!
P(x) = 3 + 2x - 4 + x^2 - 3x / 2
P(x) = x^2 - x + 1
2. Estimação do valor de f(2.5):
Para estimar o valor de f(2.5), basta substituir x = 2.5 no polinômio interpolador:
f(2.5) = (2.5)^2 - (2.5) + 1 = 6.25 - 2.5 + 1 = 4.75
Portanto, a estimativa para o valor de f(2.5) é de 4.75.
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