Resposta :
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Para calcular z^4, primeiro precisamos expressar z na forma trigonométrica.
Dado z = √(3 + i), podemos escrever z como:
z = √(2) * √(cosθ + i * sinθ)
Onde θ é o ângulo cuja tangente é igual a 1/√(3). Portanto, θ = π/6.
Agora, podemos escrever z na forma trigonométrica como:
z = √(2) * √(cos(π/6) + i * sin(π/6))
Usando a fórmula de Moivre, podemos elevar z à quarta potência:
z^4 = (√(2))^4 * √(cos(4 * π/6) + i * sin(4 * π/6))
Simplificando:
z^4 = 2 * √(cos(2π/3) + i * sin(2π/3))
Agora, podemos converter de volta para a forma retangular:
z^4 = 2 * (√(cos(2π/3)) + i * √(sin(2π/3)))
Calculando os valores de cos(2π/3) e sin(2π/3), temos:
cos(2π/3) = -1/2
sin(2π/3) = √(3)/2
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
z^4 = 2 * (√(-1/2) + i * √(√(3)/2))
Simplificando:
z^4 = 2 * (-i/√(2) + i * (√(3)/√(2)))
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar a expressão, temos:
z^4 = -2i + 2i√(3)
Portanto, z^4 = -2i + 2i√(3).