Resposta :
Bom, primeiramente, o ângulo 120º está no 2º quadrante. Como eu sei? Porque num circulo trigonométrico, temos quatro quadrantes, onde: do 0 até 90º é o primeiro quadrante; do 90º ao 180º é o 2º quadrante (onde compreende o 120º); do 180º ao 270º é o terceiro; do 270º até 360º é o quarto quadrante.
Quando estamos no segundo quadrante, para descubrir seu ângulo correspondente do primeiro quadrante (que é onde está os ângulos que sabemos sen, cos e tg) basta fazer 180-x (onde x é o ângulo correspondente).
180-120 = 60º. Portanto, o sen e cos de 60º será (em valor númerico) igual ao de 120º, variando apenas o sinal.
[tex]sen60\º = \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ cos60\º = \frac{1}{2}[/tex]
Na definição se o cos ou sen é negativo, basta ver em que quadrante o ângulo está. No sen (eixo vertical) tudo que está acima é positivo, tudo que está abaixo é negativo; No cos (eixo horizontal) tudo que está à esquerda é negativo, tudo que está à direita é positivo.
Analisando o 120º, está no segundo quadrante. Tudo que está no segundo quadrante, o sen é positivo (parte da barra vertical que está para cima) e o cos é negativo, já que está à esquerda.
Portanto:
[tex]\boxed{sen120\º = \frac{\sqrt{3}}{2}} \\\\ \boxed{cos120\º = -\frac{1}{2}}[/tex]
a) Observe que:
[tex]\text{sen}~(\text{a}+\text{b})=\text{sen}~\text{a}\cdot\text{cos}~\text{b}+\text{sen}~\text{b}\cdot\text{cos}~\text{a}[/tex].
Tomando [tex]\text{a}=\text{b}=60^{\circ}[/tex], temos:
[tex]\text{sen}~(120^{\circ})=\text{sen}~60^{\circ}\cdot\text{cos}~60^{\circ}+\text{sen}~60^{\circ}\cdot\text{cos}~60^{\circ}[/tex]
Como [tex]\text{sen}~60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex] e [tex]\text{cos}~60^{\circ}=\dfrac{1}{2}[/tex], segue que:
[tex]\text{sen}~(120^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\text{sen}~(120^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Logo:
[tex]\text{sen}~(120^{\circ})=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
b) Note que:
[tex]\text{cos}~(\text{a}+\text{b})=\text{cos}~\text{a}\cdot\text{cos}~\text{b}-\text{sen}~\text{a}\cdot\text{sen}~\text{b}[/tex]
Façamos [tex]\text{a}=\text{b}=60^{\circ}[/tex]:
[tex]\text{cos}~(120^{\circ})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\text{cos}~(120^{\circ})=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}[/tex]
Logo:
[tex]\text{cos}~(120^{\circ})=-\dfrac{1}{2}[/tex].