Resposta :
Equação da circunferência: [tex]\boxed{(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = R^{2}}[/tex]
Para que a circunferência tenha centro na origem, as coordenadas do centro tem que ser C(0;0), e o raio 2. Portanto, a equação reduzida firacia:
[tex](x-a)^{2} + (y-b)^{2} = R^{2} \\\\ (x-0)^{2} + (y-0)^{2} = (2)^{2} \\\\ \underline{x^{2} + y^{2} = 4}[/tex]
A equação escrita no enunciado é:
[tex](x-2m)^{2} + [y-(1-n)]^{2} = p+3 \\\\ (x-2m)^{2} + (y-1+n)^{2} = p+3[/tex]
É só olharmos na equação e igualarmos:
[tex]2m = 0 \\\\ \boxed{\boxed{m = 0}}[/tex]
[tex]1+n = 0 \\\\ \boxed{\boxed{n = -1}}[/tex]
[tex]p+3 = 4 \\\\ p = 4-3 \\\\ \boxed{\boxed{p = 1}}[/tex]
Vamos substituir os valores para ver se dá a equação:
[tex](x-2m)^{2} + (y-1+n)^{2} = p+3 \\\\ (x-2 \cdot (0))^{2} + (y-1+(-1))^{2} = 1+3 \\\\ (x-0)^{2} + (y-0)^{2} = 4 \\\\ \boxed{x^{2} + y^{2} = 4}[/tex]
Só uma observação: quando eu substitui o -1 ali na fórmula, alguns diriam que daria -2, porém, não podemos considerar o sinal negativo, já que ele é fixo da fórmula.
Sabe-se que a equação da circunferência com centro na origem e raio R tem a seguinte equação:
[tex]x^2+y^2=r^2[/tex]
Então na equação:
[tex](x-2m)^2+[y-(1-n)]^2=p+3[/tex]
temos que os valores de:
-2m=0
-(1-n)=0
p+3=4
para que seu centro esteja na origem e seu raio seja 2
Calculando m,n e p:
2m=0 -> m=0
(1-n)=0 -> 1+n=0 -> n=-1
p+3=4 -> p=1