✅ Tarefa (60279934) - Após resolver os cálculos, concluímos que a primeira derivada da referida função trigonométrica é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = -8\csc^2(x)\cot(x)\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO 1: Vou utilizar comandos LaTeX para digitar os cálculos de forma organizada. Então, na linguagem de marcação LaTeX a cossecante é representada por "csc".
Seja a função dada:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}f(x) = 4\csc^2(x) \end{gathered}$}[/tex]
Antes de iniciarmos o processo de derivação devemos atentar para as seguintes regras de derivações:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}~f(x) = k\cdot x^n \Longrightarrow f'(x) = n\cdot k\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$}[/tex]
- Derivada da função composta (Regra da cadeia).
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}Se:~~~~~f(x) & = g(h(x))\\\\Ent\tilde{a}o:~~~~f'(x) &= g'(h(x))\cdot h'(x)\end{aligned} $}[/tex]
- Derivada da função cossecante.
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}Se:~~~~~f(x) & = \csc(x)\\\\Ent\tilde{a}o:~~~~f'(x) &= -\csc(x)\cot(x)\end{aligned} $}[/tex]
Agora podemos realizar a derivação da função. Para isso, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f'(x) & = \left[ 4\csc^2(x)\right]'\\& = 4\cdot 2\cdot \csc^{2 - 1}(x)\cdot \left[ \csc(x)\right]'\\& = 8\csc(x)\cdot\left[ -\csc(x)\cot(x)\right]\\& = -8\csc(x)\csc(x)\cot(x)\\& = -8\csc^2(x)\cot(x)\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = -8\csc^2(x)\cot(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
