Resposta :
Após efetuar os cálculos e análises necessárias, conclui-se que o conjunto solução dessa equação é:
[tex]\Large\boxed{\boxed{\bf S = \left\{-1\:;\:\dfrac{-1 + \sqrt{35} \cdot i}{6}\:;\: \dfrac{-1 - \sqrt{35} \cdot i}{6} \right\} }}~~\checkmark[/tex]
E que a soma de todas essas raízes equivale a:
[tex]\Large\boxed{\boxed{\bf a) -\dfrac{4}{3}}}~~\checkmark[/tex]
Resolvendo a questão proposta:
Primeiramente, conforme o enunciado diz, devemos obter as raízes da seguinte equação cúbica:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 3x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0}$}[/tex]
Fazendo fatoração por agrupamento, reescreva convenientemente o termo "4x²" como "x² + 3x²" e o termo "4x" como "x + 3x":
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 3x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 3x^3 + x^2 + 3x^2 + 3x + x + 3 = 0}$}[/tex]
Troquemos de lugar os termos "3x²" e "3x":
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 3x^3 + x^2 + 3x^2 + 3x + x + 3 = 0}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 3x^3 + x^2 + 3x + 3x^2 + x + 3 = 0}$}[/tex]
Agrupe os termos, de três em três:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 3x^3 + x^2 + 3x + 3x^2 + x + 3 = 0}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ \left(3x^3 + x^2 + 3x\right) + \left(3x^2 + x + 3\right) = 0}$}[/tex]
No 1° grupo, coloque o fator comum "x" em evidência. Já no 2° grupo, faça aparecer fora deste um "1" que multiplica todo esse grupo:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ \left(3x^3 + x^2 + 3x\right) + \left(3x^2 + x + 3\right) = 0}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x\left(3x^2 + x + 3\right) + 1\left(3x^2 + x + 3\right) = 0}$}[/tex]
Agora coloque o fator comum "(3x² + x + 3)" em evidência:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x\left(3x^2 + x + 3\right) + 1\left(3x^2 + x + 3\right) = 0}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ \left(3x^2 + x + 3\right) \cdot \left(x + 1\right) = 0}$}[/tex]
Utilizando o Princípio do Fator Zero, temos que:
[tex]\Large\text{${\begin{cases} \sf x + 1 = 0 \\ \sf 3x^2 + x + 3 = 0 \end{cases} }$}[/tex]
Para a primeira equação, obtém-se x = -1.
Já para a outra, separemos os coeficientes e usemos Bhaskara:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 3x^2 + x + 3 = 0 ~~\begin{cases} \sf a = 3\\ \sf b = 1 \\ \sf c = 3 \end{cases}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{6}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 36}}{6}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-35}}{6}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{35} \cdot i}{6}}$}[/tex]
Levando em consideração que [tex]\sf i = \sqrt{-1}[/tex].
Logo, o conjunto solução dessa equação é:
[tex]\Large\text{${\Longrightarrow ~}$} \Large\boxed{\boxed{\bf S = \left\{-1\:;\:\dfrac{-1 + \sqrt{35} \cdot i}{6}\:;\: \dfrac{-1 - \sqrt{35} \cdot i}{6} \right\} }}~~\checkmark[/tex]
--------------------------------
Agora, para somar as raízes, é bem simples.
Usemos a relação da soma das raízes para a equação quadrática obtida:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{3}}$}[/tex]
Agora, basta somar à outra raiz:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ -\dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{4}{3}}$}[/tex]
Portanto, a soma de todas as raízes é -4/3.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos.
Espero ter ajudado❤.
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