Resposta :
De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que o primeiro termo é -2 e 4 e a quantidade de termos é de 8 e 11.
Uma progressão aritmética ( P. A ) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se ao anterior uma constante r, chamada de razão da PA.
Termo geral de uma P. A:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (\, n - 1 \,) \cdot r \;\; \forall ~ n, ~ n \in \mathbb{R}^{\ast} } $ }[/tex]
A soma de todos os termos da P. A finita poderá ser calculada pela expressão:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(\, a_1 +a_n \, ) \cdot n}{2} } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf a_1 = \:? \\ \sf a_n = 18 \\ \sf r = 2 \\ \sf S_n = 88 \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
Aplicando, o termo geral da progressão aritmética, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (\, n- 1\,) \cdot r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 18 = a_1 + (\, n- 1\,) \cdot2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 18 = a_1 + 2n -2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 18 + 2 = a_1 +2n } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{20 = a_1 + 2n } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_1 =20 -2n } $ }[/tex]
Substituindo na expressão da soma dos termos da progressão aritmética finita, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(\, a_1 +a_n \, ) \cdot n}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 88 = \dfrac{(\, 20 - 2n +a_n \, ) \cdot n}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 88 = \dfrac{(\, 20 - 2n + 18 \, ) \cdot n}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 88 = \dfrac{(\, 38 - 2n \, ) \cdot n}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -\,2n^{2} + 38n = 88 \times 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2n ^{2} + 38n = 176 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2n ^{2} + 38n - 176 = 0 \:\: \div (\, -\,2 \,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ n ^{2} - 19n + 88 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = (\,-\,19\,)^2 - \, 4 \times 1 \times 88 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 361-352 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 9 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ n = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:(-\,19 \,) \pm \sqrt{ 9 } }{2\times 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ n = \dfrac{ 19\pm3 }{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf n_1 = &\sf \dfrac{ 19 + 3}{2} = \dfrac{22}{2} = 11 \\\\ \sf n_2 = &\sf \dfrac{19 - 3}{2} = \dfrac{16}{2} =\:\: 8\end{cases} } $ }[/tex]
Para n = 8, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_1 =20 -2\cdot n \implies a_1 = 2 0 - 2 \cdot 11 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_1 = 2 0 - 16 \implies a_ 1 = 4 } $ }[/tex]
Para n = 11, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_1 =20 -2\cdot n \implies a_1 = 20 - 2 \cdot 11 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_1 = 20 - 22 \implies a_1 = - 2 } $ }[/tex]
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