( CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012 ) Considere as funções g(x) = log₂x e [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf h(\,x \,) =\log_b \, x $ }[/tex] ambas de domínio [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf \mathbb{R}^{\ast}_+ $ }[/tex] . Se h( 5 ) = 1/2, então g( b + 9 ) é um número real compreendido entre:
a) 5 e 6
b) 4 e 5
c) 3 e 4
d) 2 e 3
e) 1 e 2
A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que um número real compreendido entre 5 e 6 é log₂ (34 ) ≈ 5,086 e tendo alternativa correta é a letra A.
Dados os números positivos a e b, com a ≠ 1, se b = aˣ, então o expoente x chama -se logaritmo de b na base a, ou seja:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{\log_a\, b = x \Longleftrightarrow b = a^{x} } $ }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf g(x) = \log_2 \, x \\\sf h(x) = \log_b \, x\\\sf D( g) ~e ~D(\, h\,) = \mathbb{R}^{\ast}_+\\ \sf g(\, b + 9 \,) = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
Aplicando as propriedades dos logaritmos e das funções,temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{h(\, x\,) = \log_b \, x \implies h(\, 5\,) = \log_b \, 5 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_b \, 5 = \dfrac{1}{2} \implies b^{1/2} = 5 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \left (\, b^{1/2} \, \right)^2 = (\, 5\,)^2 \implies b = 25 } $ }[/tex]
Calcular g( b + 9 ) usando a função g( x ) = log₂ x.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ g(\, x\, ) = \log_2\, x } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ g(\, b+9 \,) = g_2\, (\, b+9 \,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ g(\, 25+9\,) = \log_2 \,(\,25+9 ) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log(\,34\,) = \log_2\, (\,34 \,) } $ }[/tex]
Aplicar a mudança de bases, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_a \, b = \dfrac{\log_c \, a}{\log_c \, b} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_2\,(\,34\,) = \dfrac{\log 34}{\log 2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_2\,(\,34\,) = \dfrac{1{,}531}{0{,}301} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_2\,(\,34\,) \approx 5{,}086 } $ }[/tex]
Alternativa correta é a letra A.
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