Resposta :
Olá.
A derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em um certo ponto.
Matematicamente, diz-se que função [tex]\mathtt{f(x)}[/tex] é derivável em um certo intervalo se existir o seguinte limite:
[tex]\boxed{\mathtt{f^{\prime}(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}}}[/tex]
Além disso, também utilizaremos, além dos fatos dados do enunciado, a seguinte propriedade dos limites:
[tex]\boxed{\mathtt{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)}}[/tex]
Neste caso, temos que [tex]\mathtt{f(x) = tg \ x}[/tex]. Aplicando a definição, temos:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow f^{\prime}(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[tg \ x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{tg \ (x + h) - tg \ x}{h}}\\\\[/tex]
Dado que a tangente é a razão entre as razões trigonométricas seno e cossenos, temos:
[tex]\mathrm{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan \ x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\tan (x + h) - \tan x}{h}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\cdot \left[\frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} - \frac{\sin x}{\cos x}\right]}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\cdot \left[\frac{\sin (x + h) \cdot \cos x - \sin x \cdot \cos (x + h)}{\cos (x + h) \cdot \cos x}\right]}\\\\[/tex]
Veja a identidade do seno da diferença entre dois ângulos:
[tex]\mathrm{\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha}[/tex]
E se expandíssemos [tex]\mathsf{\sin (x + h - h)}[/tex]? Tomando [tex]\mathsf{\alpha = x + h}[/tex] e [tex]\mathsf{\beta = x}[/tex], temos:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha}\\\mathtt{\Longleftrightarrow \sin (x + h - x) = \sin (x + h) \cos x - \sin x \cos (x + h)}\\[/tex]
Observe que a igualdade que apareceu agora é exatamente igual ao numerador da fração a qual estamos trabalhando. Basta substituir:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin (x + h) \cdot \cos x - \sin x \cdot \cos (x + h)}{h\cos (x + h) \cdot \cos x}\right]}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left[\frac{\sin (x + h - x)}{h \cos (x + h) \cdot \cos x}\right]}\\\\[/tex]
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0}\left[\frac{\sin (h)}{h \cos (x + h) \cdot \cos x}\right]}\\\\[/tex]
Reagrupando convenientemente, temos:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\sin (h)}{h \cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h} \cdot \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\[/tex]
Agora, basta utilizar a propriedade do produto entre limites, vista no começo da tarefa:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h} \cdot \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\[/tex]
Wow! Veja que a primeira parcela do produto é justamente o limite fundamental trigonométrico, ao qual já temos o pré-resultado: é igual a 1. Ou seja:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \underbrace{\mathtt{\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h}}}_{\mathtt{1}} \cdot \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle 1 \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\[/tex]
Substituindo [tex]\mathtt{h = 0}[/tex] na expressão, temos:
[tex]\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos (x + h) \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \dfrac{1}{\cos (x + 0) \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \dfrac{1}{\cos x \cdot \cos x}}\\\\\mathtt{\Longleftrightarrow \dfrac{d}{dx}[\tan x] = \dfrac{1}{\cos^2 (x)}}\\\\[/tex]
Mas, pela definição, [tex]\mathtt{\dfrac{1}{\cos x} = \sec x}[/tex], o que implica que [tex]\mathtt{\dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x}[/tex].
Por fim, chegamos à seguinte conclusão:
[tex]\boxed{\mathtt{\dfrac{d}{dx}[\tan x] = \sec ^2 x}}[/tex]
Como queríamos demonstrar.
Leia mais sobre aqui:
- brainly.com.br/tarefa/60282957.
- brainly.com.br/tarefa/58882761.
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