Resposta :
Usando as propriedades das Equações do Segundo grau, obtém-se:
B) raízes x = - 1 e x = 3 ; gráfico em anexo 1
C) raiz = 2/3 ; gráfico anexo 2
D) Não tem raízes reais ; gráfico anexo 3
As Equações Completas do Segundo Grau são do género:
[tex]\LARGE\text{$ax^2+bx+c=0~~~~~~~~~~~a\neq 0$}[/tex]
Para calcular as raízes de uma equação do segundo grau pode-se sempre usar a Fórmula Resolutiva ( Bhaskara )
[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex] ou [tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}$}[/tex]
B)
[tex]\Large\text{$2x^2+4x-6=0$}[/tex]
Cálculo das raízes
Recolher informação
[tex]\Large\text{$a=2$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=4$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=-6$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=b^2-4ac$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=4^2-4\cdot 2\cdot (-6)=16+48 =64$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta} =\sqrt{64} =8$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-4 + 8}{2\cdot 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{4}{4}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = 1$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{-4 - 8}{2\cdot 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{-12}{4}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} = -3$}}[/tex]
Elementos aconselhados no esboço do gráfico de funções segundo grau:
- raízes
- vértice
- IY ponto interseção com eixo "y"
- eixo simetria
- mais dois pontos um de cada lado do eixo de simetria
Cálculo do Vértice
Usam-se duas Fórmulas
[tex]\Large\text{$ X_{V}=-\dfrac{b}{2a} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ X_{V}=-\dfrac{4}{2\cdot 2} =-1 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ Y_{V}=-\dfrac{\Delta}{4a} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ Y_{V}=-\dfrac{64}{4\cdot 2} =-8 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$V\acute{e}rtice~=~ (-1~{;}~-8~)$}[/tex]
Cálculo do Eixo de Simetria
É uma reta , paralela ao eixo do "y" e é do tipo:
[tex]\Large\text{$x=coordenada~em~x~do~V\acute{e}rtice$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$x=-1$}}[/tex]
Cálculo IY ponto interseção com eixo y
É do género:
[tex]\LARGE\text{$IY=(0~{;}~c~)$}[/tex]
Logo
[tex]\LARGE\text{$IY=(0~{;}~-6~)$}[/tex]
Calcular dois pontos um de cada lado eixo de simetria
[tex]\Large\text{$2x^2+4x-6=0$}[/tex]
Um já está, que é o IY
Outro ponto agora à esquerda do eixo simetria
[tex]\Large\text{$Se~~x=-2$}[/tex]
[tex]\Large\text{$f(-2)=2\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)-6=2\cdot4-8-6=-6$}[/tex]
[tex]\Large\text{$Ponto~~A~= (~-2~{;}~-6)$}[/tex]
C)
[tex]\Large\text{$9x^{2} - 12x + 4 = 0$}[/tex]
Cálculo das raízes
[tex]\Large\text{$a=9$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=-12$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=4$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-12) +0}{2\cdot 9}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12}{18}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+12\div6}{18\div6}=\dfrac{2}{3} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ x_{1}=x_{2} =\dfrac{2}{3} $}[/tex]
Cálculo IY ponto interseção com eixo y
[tex]\LARGE\text{$IY=(0~{;}~\dfrac{2}{3} ~)$}[/tex]
Observação
Como a equação tem apenas uma raiz , toca o eixo "x" num único ponto.
Esse ponto é Vértice e Raiz da Equação
D)
[tex]\Large\text{$x^2+2x+4=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12$}[/tex]
Quando o
[tex]\Large\text{$\Delta~ < ~0$}[/tex]
a equação não tem raízes reais
Cálculo do Vértice
[tex]\Large\text{$ X_{V}=-\dfrac{b}{2a} =\dfrac{2}{2\cdot 1}=1 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ Y_{V}=-\dfrac{\Delta}{4a} =-\dfrac{-12}{4\cdot 1}=3 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$V\acute{e}rtice~=~ (-1~{;}~3~)$}[/tex]
Calcular dois pontos um de cada lado eixo de simetria
[tex]\Large\text{$Se~~x=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$f(1)=1^2+2\cdot 1+4==1+2+4=7$}[/tex]
[tex]\Large\text{$Ponto ~A ~(~1~{;}~7~)$}[/tex]
[tex]\Large\text{$Se~~x=-3$}[/tex]
[tex]\Large\text{$f(-3)=(-3)^2+2\cdot (-3)+4=9-6+4=7$}[/tex]
[tex]\Large\text{$Ponto ~B ~(~-3~{;}~7~)$}[/tex]
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação [tex](\neq )[/tex] diferente de
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
