Resposta:
A função [tex] \( f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \) [/tex] é uma função quadrática ou uma função de segundo grau, do tipo [tex] f(x) = ax^2 + bx + c . [/tex]
Agora, vamos estudar os seus principais aspectos:
Para identificar os coeficientes da função, nós assim iremos proceder:
[tex] f(x) = ax^2 + bx + c \\ f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \\ a = 2 \quad b = -4 \quad c = 4 [/tex]
Observar que:
- [tex] a [/tex] é o coeficiente de [tex] x^2;[/tex]
- [tex] b [/tex] é coeficiente de [tex] x;[/tex]
- [tex] c [/tex] é o termo constante ou termo livre.
O gráfico de uma função quadrática ou função de segundo grau é uma parábola, cujas coordenadas [tex] (x_v, y_v) [/tex] são assim determinadas:
- abscissa:
[tex] \( x_ = -\dfrac{b}{2a} \) [/tex]
- ordenada:
[tex] \( y_v = f(x_v) \) [/tex]
Desta forma, nós teremos:
[tex] \[ x_v = -\dfrac{-4}{2 \cdot 2} = \dfrac{4}{4} = 1 \] [/tex]
[tex] \[y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2 \] [/tex]
O vértice da parábola tem coordenadas (1, 2).
A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente quadrático (a):
- Se o sinal do coeficiente a for positivo (a > 0), a parábola tem a concavidade voltada para cima.
- Se o coeficiente a for negativo (a < 0), a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Como [tex] \( a = 2 \) [/tex] é positivo, a parábola é côncava para cima.
As raízes da função podem ser encontradas através da resolução da equação [tex] \( 2x^2 - 4x + 4 = 0.\) [/tex]
Inicialmente, nós vamos calcular o Discriminante ou [tex] \Delta [/tex] da equação:
[tex] \[\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 16 - 32 = -16 \] [/tex]
Como o resultado é negativo, a função não possui raízes reais, significando que a parábola não intercepta o eixo 0x ou eixo das abscissas.
O gráfico da função irá interceptar o eixo 0y ou eixo das ordenadas, no valor de f(x) para x = 0.
Vejamos:
[tex] f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \\ x = 0 \longrightarrow f(0) \\ f(0) = 2 \cdot (0)^2 - 4 \cdot (0) + 4 = 2 \cdot 0 - 0 + 4 = 4 [/tex]
A função intercepta o eixo 0y no ponto (0, 4)
Eis os pontos importantes para a construção do gráfico da função:
- Vértice: (1, 2);
- Concavidade: para cima;
- Intercepta o eixo 0y em (0, 4);
- Não intercepta o eixo 0x.
O gráfico da função está anexo.
