Resposta :
Resposta:
A inflação do 1⁰ mês foi de 32%.
Explicação passo-a-passo:
Para a resolução da Tarefa, nós vamos utilizar um método simples, baseado no preço de um produto, que, no começo do primeiro mês, custava 100 reais.
Vamos definir os preços do produto nos diferentes meses para entender a inflação acumulada.
- Preço inicial do produto: 100 reais.
- Inflação do 2° mês: 35%.
- Inflação acumulada em 2 meses: 78,2%.
Inicialmente, nós calculamos o preço do produto, após a inflação do 2° mês:
[tex] 100 \times \left(1 + \dfrac{35}{100}\right) = \\ = \( 100 \times (1 + 0,35) = \\ = 100 \times 1,35 = \\ = 135 [/tex]
Agora, nós iremos supor que a inflação do 1° mês seja igual a x%.
Então, após o 1° mês, o preço do produto seria:
[tex] \( 100 \times \left(1 + \dfrac{x}{100}\right) \) [/tex]
Sabemos que a inflação acumulada, ao longo dos dois meses, deve resultar em um aumento total de 78,2%.
Portanto, o preço final do produto, após 2 meses deve ser:
[tex] \( 100 \times 1,782 = 178,2 [/tex]
Podemos escrever a equação para o preço após o 1° mês multiplicado pela inflação do 2° mês, resultando no preço final:
[tex] \[ 100 \times \left(1 + \dfrac{x}{100}\right) \times 1,35 = 178,2 \] \\ \[ 100 \times \left(1 + \dfrac{x}{100}\right) \times 1,35 = 178,2 \] \\ \[ \left(1 + \dfrac{x}{100}\right) \times 1,35 = 1,782 \] \\ \[ 1 + \dfrac{x}{100} = \dfrac{1,782}{1,35} \] \\ \[ 1 + \dfrac{x}{100} = 1,32 \] \\ \[ \dfrac{x}{100} = 1,32 - 1 \] \\ \[ \dfrac{x}{100} = 0,32 \] \\ \[ x = 0,32 \times 100 \] \\ \[ x = 32 \] [/tex]
Portanto, a inflação do 1° mês foi de 32%.
✅ Tarefa (60613701) - Uma vez tendo resolvido os cálculos, concluímos que a taxa percentual da inflação no primeiro mês foi:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} t(\%)_1 = 32\%\end{gathered}$}[/tex]
Ao analisar o enunciado percebemos os seguintes dados:
[tex]\Large\begin{cases} I_A = inflac_{\!\!,}\tilde{a}o\:acumulada = 78,2\% = 0,782\\t_2 = taxa\:inflac_{\!\!,}\tilde{a}o\:segundo\:m\hat{e}s = 35\% = 0,35\\t_1 = taxa\:inflac_{\!\!,}\tilde{a}o\:primeiro\:m\hat{e}s = \:?\end{cases}[/tex]
Observe que a inflação acumulada de um determinado período é dada pela diferença entre o produtório da soma da unidade com cada uma das taxas percentuais parciais de inflações - em número decimal - e a unidade, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}~~~~~~~~~~~~~I_A = \prod\limits_{i = 1}^n (1 + t_i) - 1\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: O número "100" nos cálculos que envolvem taxas percentuais serve apenas para transformar uma determinada taxa escrita da forma decimal para uma taxa escrita na forma percentual. Desta forma, se quisermos transformar a inflação acumulada em taxa percentual basta multiplicarmos o segundo membro da equação "I" por "100".
Uma vez tendo dito isto, devemos deduzir a fórmula para se determinar a taxa da inflação do primeiro mês. Para isso, devemos manipular algebricamente a fórmula "I" de modo a isolar a taxa do primeiro mês, sem se esquecer que o período de acúmulo total foi de apenas dois meses. Então, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}I_A & = \prod\limits_{i = 1}^n(1 + t_i) - 1\\I_A & = (1 + t_1)\cdot(1 + t_2) - 1\\I_A + 1 & = (1 + t_1)\cdot(1 + t_2)\\\frac{I_A + 1}{1 + t_2} & = 1 + t_1\\\frac{I_A + 1}{1 + t_2} - 1 & = t_1\end{aligned} $}[/tex]
Chegando neste ponto podemos inverter ambos os membros da última equação - sem perda alguma de generalidades. Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf II}~~~~~ ~~~~~~~~~t_1 = \frac{I_A + 1}{1 + t_2} - 1\end{gathered}$}[/tex]
Agora, como queremos calcular a taxa PERCENTUAL da inflação no primeiro mês, devemos multiplicar o segundo membro da equação "II" por "100". Desta forma, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf III}~~~~~~t(\%)_1 = 100\cdot\left[\frac{I_A + 1}{1 + t_2} - 1\right]\end{gathered}$}[/tex]
Agora só nos resta, substituir os dados na equação "III" para obtermos o resultado.
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}t(\%)_1 & = 100\cdot\left[ \frac{0,782 + 1}{1 + 0,35} - 1\right]\\& = 100\cdot\left[ \frac{1,782}{1,35}- 1\right]\\& = 100\cdot\left[ 1,32 - 1\right]\\& = 100\cdot0,32\\& = 32\%\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a taxa percentual da inflação do primeiro mês foi:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t(\%)_1 = 32\%\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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