Para resolver o problema, precisamos encontrar o valor de \(a\) dado que um dos vértices do triângulo equilátero é \((22, 30)\) e o vértice adjacente, em sentido anti-horário, é \((-11 - a\sqrt{3}, -15 + 11\sqrt{3})\). Como o triângulo é equilátero e tem seu centro na origem, vamos usar a rotação de 120 graus no plano cartesiano para encontrar os vértices adjacentes.
Primeiro, devemos determinar a rotação de \((22, 30)\) por 120 graus (ou \(2\pi/3\) radianos) em torno da origem. A matriz de rotação para 120 graus é dada por:
\[
R = \begin{pmatrix}
\cos\frac{2\pi}{3} & -\sin\frac{2\pi}{3} \\
\sin\frac{2\pi}{3} & \cos\frac{2\pi}{3}
\end{pmatrix}
\]
Sabemos que:
\[
\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Assim, a matriz de rotação é:
\[
R = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
Multiplicamos a matriz de rotação pelo vetor \((22, 30)\):
\[
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
22 \\
30
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} \cdot 22 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 30 \\
\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 22 - \frac{1}{2} \cdot 30
\end{pmatrix}
\]
Calculamos cada componente:
\[
x = -\frac{1}{2} \cdot 22 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 30 = -11 - 15\sqrt{3}
\]
\[
y = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 22 - \frac{1}{2} \cdot 30 = 11\sqrt{3} - 15
\]
Assim, o vértice adjacente ao ponto \((22, 30)\) após rotação de 120 graus é:
\[
(-11 - 15\sqrt{3}, 11\sqrt{3} - 15)
\]
Comparando isso com o ponto fornecido \((-11 - a\sqrt{3}, -15 + 11\sqrt{3})\), obtemos:
\[
-11 - a\sqrt{3} = -11 - 15\sqrt{3} \quad \text{e} \quad -15 + 11\sqrt{3} = 11\sqrt{3} - 15
\]
Da primeira equação:
\[
- a\sqrt{3} = - 15\sqrt{3}
\]
Logo:
\[
a = 15
\]
Portanto, o valor de \(a\) é:
\[
\boxed{15}
\]
