Resposta :
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos da função f(x) = x^3 + 3x^2 + 1, primeiro precisamos encontrar a derivada da função e, em seguida, igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 1: Encontrar a derivada da função f(x).
f'(x) = 3x^2 + 6x
Passo 2: Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
3x^2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
Portanto, os pontos críticos são x = 0 e x = -2.
Agora, para determinar se esses pontos são de máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada segunda.
Passo 3: Encontrar a segunda derivada da função f(x).
f''(x) = 6x + 6
Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos:
f''(0) = 6(0) + 6 = 6 (positivo)
f''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 (negativo)
Pelo teste da segunda derivada, temos:
- Se f''(x) > 0, então o ponto crítico é de mínimo relativo.
- Se f''(x) < 0, então o ponto crítico é de máximo relativo.
Portanto, o ponto de mínimo relativo ocorre em x = 0 e o ponto de máximo relativo ocorre em x = -2.