Resposta :
As raízes da equação são 2 e 7.
Preâmbulo
- Uma forma de solucionar uma equação do segundo grau é usando as Relações de Girard: um método de determinar as raízes da equação através da soma e produto das raízes. É utilizado para casos em que se espera raízes inteiras, pois se as raízes forem frações, a resolução por este método pode ser mais complicada. Considere:
S: soma das raízes da equação (x₁ + x₂).
P: produto das raízes da equação (x₁ ⋅ x₂).
a, b e c: coeficientes da função f(x) = ax² + bx + c
- a: coeficiente de x².
- b: coeficiente de x.
- c: termo independente de x.
- As relações de Girard são:
[tex]\large \text {$ \sf S = -\dfrac{b}{a} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf P = \dfrac{c}{a} $}[/tex]
Resolução
- Determine os coeficientes da equação f(x) = x² − 9x + 14.
a = 1
b = −9
c = 14
- Determine a soma e o produto das raízes.
[tex]\large \text {$ \sf S = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{1} \qquad \implies \qquad S=9 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf P = \dfrac{c}{a}= \dfrac{14}{1} \qquad \implies \qquad P =14 $}[/tex]
- Determine as raízes usando cálculo mental: Observe que as duas raízes cuja soma resulta 9 e o produto resulta 14 são 2 e 7, pois:
2 + 7 = 9
2 × 7 = 14
- Escreva o conjunto solução:
✅ S = {2, 7}
O coeficiente a determina se a parábola é de concavidade para cima ou para baixo:
- Se a > 0 então a parábola é de concavidade para cima.
- Se a < 0 então a parábola é de concavidade para baixo.
- Observe que toda parábola possui um eixo de simetria que passa por seu vértice e sempre possui uma metade crescente e outra decrescente, então não tem sentido perguntar se ela é crescente ou decrescente.
- Pode-se então obter a abscissa de seu vértice para determinar os trechos de comportamento crescente e decrescente.
- A abscissa do vértice da parábola é obtida por:
[tex]\large \text {$ \sf x_V = -\dfrac{b}{2a} \qquad \Longrightarrow \quad $ \sf Substitua os valores.}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf x_V = -\dfrac{-9}{2 \cdot 1} \qquad \implies \qquad x_V= \dfrac{9}{2} $}[/tex]
- Observe os resultados ilustrados na imagem anexa.
✅ Se a parábola possui concavidade para cima e a abscissa do vértice é 9/2, então a parábola é crescente para x > 9/2 e decrescente para x < 9/2.
Aprenda mais
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