Resposta :
Deve-se determinar mmc
mmc(12, 25, 45) = 900
12 25 45/2
6 25 45/2
3 25 45/3
1 25 15/3
25 5/5
5 1/5
1
900 x 2 = 1800
900 x 3 = 2700
900 x 4 = 3600
Todo número multiplo do mmc será multiplo do número considerado.
Sendo o número maior de 2000 e menor de 3000, o multiplo será 2700.
Como sempre na divisão o resto é 8, o número será
2700 + 8 = 2708
Seja [tex]l[/tex] o número procurado.
Temos que:
[tex]l\equiv8\pmod{12}[/tex]
[tex]l\equiv8\pmod{25}[/tex]
[tex]l\equiv8\pmod{45}[/tex]
Desses congruências, podemos escrever:
[tex]l=12\text{a}+8[/tex]
[tex]l=25\text{b}+8[/tex]
[tex]l=45\text{c}+8[/tex]
Desta maneia, podemos escrever:
[tex]l=12\text{a}+8=25\text{b}+8=45\text{c}+8[/tex]
Logo, [tex]12\text{a}=25\text{b}=45\text{c}[/tex]
Note que, [tex]\text{mmc}(12, 25, 45)=900[/tex].
Desse modo, temos [tex]l=900\text{d}+8[/tex].
Como [tex]2~000<l3~000[/tex], segue:
[tex]2~000<900\text{d}+8<3~000[/tex]
Donde, [tex]2<\text{d}<4[/tex], [tex]\text{d}=3[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que, [tex]l=900\cdot3+8=2~708[/tex].