U e W são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial V de dimensão 6
Dadas as proposições:
I) dim (U + W) pode ser igual a 8
II) dim (U + W) pode ser igual a 6
III) dim (U + W) pode ser igual a 5
Assinale a alternativa correta:
A) (I), (II) e (III) estão corretas
B) (I), (II) e (III) estão erradas
C) apenas (I) está correta
D) apenas (II) e (III) estão corretas
E) apenas (I) e (III) estão corretas
Olá, ibcf22.
Dado um espaço vetorial [tex]V[/tex] qualquer, define-se a soma de dois subespaços seus [tex]U[/tex] e [tex]W,[/tex] denotada por [tex]U + W,[/tex] como o conjunto de todos os vetores da forma [tex]u + w,[/tex]
onde [tex]u\in U[/tex] e [tex]w\in W[/tex], ou seja:
[tex]U+W=\{u+w, u\in U, w\in W \}[/tex]
Se [tex]\text{dim}(U)=4[/tex] e [tex]\text{dim}(W)=4,[/tex] então os vetores [tex]u\in U[/tex] e [tex]w\in W[/tex] possuem ambos 4 coordenadas.
Portanto, [tex]u+w\in U+W[/tex] também possui 4 coordenadas, pois:
[tex]u+w=(u_1,u_2,u_3,u_4)+(w_1,w_2,w_3,w_4)=\\\\ =(u_1+w_1,u_2+w_2,u_3+w_3,u_4+w_4)[/tex]
[tex]\therefore\boxed{\text{dim}(U+W)=4}[/tex]
Resposta: letra B (I, II e III estão erradas)
