Resposta :
Beleza. Então ele quer que a gente demonstre que existe um r entre r1 e r2 sendo que este r precisa ser maior que r1 e menor que r2, perfeito então. Oq ele nos dar? ele diz que r1 e r2 são racionais e que r1 é menor que r2. Ok, tudo bem.
Percebe que a demonstração ela meche com a nossa criatividade sendo que não temos muito o que escolher só nos é dado alguns dados para que formamos nossa hipótese e também alguns dados que forma a nossa tese que é aonde queremos chegar. Ok.
Bom vamos lá, vamos chamar r1 de a/b, logo r1= a/b e r2 chamaremos de c/d, logo r2 = c/d Como r1 < r2, então a/b < c/d => ad < bc. Até aí tudo bem né? Então ok.
Seja r a méda artimetica entre r1 e r2: r = (ad + bc)/2bd percebe que eu fui direto, fiz o mmc e tudo já aí nessa parte, ok vamos continuar.
Comparemos r1 e r2:
r1 - r = a/b - (ad + bc)/2bd = (ad - bc)/2bd => r1 - r < 0 = > r1 < r
Perfeito a matemática né? Vamos continuar agora comparando r e r2:
r - r2 = (ad + bc)/2bd - c/d = (ad - bc)/2bd => r - r2 < 0 => r < r2
Portando existe r, tal que r1 < r < r2.
Comentário: Realmente foi uma questão interesante o meu raciocinio foi mostrar que r1 era menor que r e logo em seguida mostrar que r era menor que r2, para a gente chegar na nossa tese. Lembre-se numa demonstração temos que pegar o que a gente tem que são as hipóteses e através dela chegar na tese que é o que queremos demonstrar. Muito obrigado por acreditar em mim, adorei resolver essa questão, fica bem.
Hipótese: [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] são racionais e [tex]r_1<r_2[/tex].
Tese: Existe um r tal que [tex]r_1<r<r_2[/tex].
Partimos da hipótese e chegaremos na tese de maneira direta. Somando em ambos os membros [tex]r_1[/tex].
[tex]r_1+r_1<r_2+r_1\\ \\ 2r_1<r_2+r_1\\ \\ r_1<\dfrac{r_2+r_1}{2}[/tex]
Agora somando em ambos os membros o [tex]r_2[/tex].
[tex]r_1+r_2<r_2+r_2\\ \\ r_1+r_2<2r_2\\ \\ \dfrac{r_1+r_2}{2} <r_2[/tex]
Com isso, podemos concluir que,
[tex]r_1<\dfrac{r_2+r_1}{2}<r_2[/tex]
Logo, o r é a média aritmética de [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex]. E sim, existe um número racional r entre [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex].
c.q.d