Resposta :
Consideremos [tex]\begin{cases}x^2-2x-2=a\\x^2+4x+2=b\end{cases}[/tex]
Segue,
[tex]\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=2\\\\(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2=2^2\\\\\frac{a}{b}+2\sqrt{\frac{ab}{ba}}+\frac{b}{a}=4\\\\\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4-2\\\\a^2+b^2=2ab\\\\a^2-2ab+b^2=0\\\\(a-b)^2=0[/tex]
Retornemos com os valores iniciais.
[tex](a-b)^2=0\\[x^2-2x-2-(x^2+4x+2)]^2=0\\(x^2-2x-2-x^2-4x-2)^2=0\\(-6x-4)^2=0\\(-6x-4)(-6x-4)=0[/tex]
Já que o produto entre os dois termos é nulo, um deles vale zero, certo?! Como são iguais...
[tex]-6x-4=0\\\\-6x=4\\\\x=\frac{4}{-6}\\\\\boxed{\boxed{x=-\frac{2}{3}}}[/tex]
Se não errei nada, é isso!!
Espero ter ajudado.
Segue,
[tex]\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=2\\\\(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2=2^2\\\\\frac{a}{b}+2\sqrt{\frac{ab}{ba}}+\frac{b}{a}=4\\\\\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=4-2\\\\a^2+b^2=2ab\\\\a^2-2ab+b^2=0\\\\(a-b)^2=0[/tex]
Retornemos com os valores iniciais.
[tex](a-b)^2=0\\[x^2-2x-2-(x^2+4x+2)]^2=0\\(x^2-2x-2-x^2-4x-2)^2=0\\(-6x-4)^2=0\\(-6x-4)(-6x-4)=0[/tex]
Já que o produto entre os dois termos é nulo, um deles vale zero, certo?! Como são iguais...
[tex]-6x-4=0\\\\-6x=4\\\\x=\frac{4}{-6}\\\\\boxed{\boxed{x=-\frac{2}{3}}}[/tex]
Se não errei nada, é isso!!
Espero ter ajudado.