Resposta :
Bom, podemos calcular o determinante de uma matriz escolhendo uma linha ou uma coluna, e multiplicar cada elemento pelo seu cofator.
Para facilitar nossos cálculos, escolheremos a linha/coluna que possui mais zeros, que no caso, é a primeira coluna.
[tex]\begin{bmatrix} -1 & 3 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]
Então vamos lá. Começamos com o primeiro elemento: iremos multiplica-lo pelo seu cofator. No que consiste o cofator? O cofator tem a seguinte fórmula:
[tex]\boxed{A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A}}[/tex]
Este "D" da fórmula, significa determinante do cofator, que é todos os elementos que restam excluindo a linha e a coluna do elemento que a gente está calculando. O cofator sempre é representado por letra maiúscula.
Vamos lá:
[tex]D = -1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{21}[/tex]
Vamos calcular o cofator de cada um separadamente.
[tex]A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A} \\\\ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\\\ A_{11} = (-1)^{2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\\\ A_{11} = 1 \cdot (4-2-16-3) \\\\ \boxed{A_{11} = -17}[/tex]
Agora iremos calcular o cofator do segundo elemento:
[tex]A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A} \\\\ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\\\ A_{21} = (-1)^{3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\ A_{21} = -1 \cdot (12-12-4-32-2-9) \\\\ A_{21} = -1 \cdot -47 \\\\ \boxed{A_{21} = 47}[/tex]
Voltando:
[tex]D = -1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{21} \\\\ D = -1 \cdot (-17) + 2 \cdot 47 \\\\ D = 17+94 \\\\ \boxed{\boxed{D= 111}}[/tex]
Olha, o resultado deu 111. Consultando uma calculadora online, ela confirmou. Está certo esse resultado que te passaram?
Para facilitar nossos cálculos, escolheremos a linha/coluna que possui mais zeros, que no caso, é a primeira coluna.
[tex]\begin{bmatrix} -1 & 3 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]
Então vamos lá. Começamos com o primeiro elemento: iremos multiplica-lo pelo seu cofator. No que consiste o cofator? O cofator tem a seguinte fórmula:
[tex]\boxed{A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A}}[/tex]
Este "D" da fórmula, significa determinante do cofator, que é todos os elementos que restam excluindo a linha e a coluna do elemento que a gente está calculando. O cofator sempre é representado por letra maiúscula.
Vamos lá:
[tex]D = -1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{21}[/tex]
Vamos calcular o cofator de cada um separadamente.
[tex]A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A} \\\\ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\\\ A_{11} = (-1)^{2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\\\ A_{11} = 1 \cdot (4-2-16-3) \\\\ \boxed{A_{11} = -17}[/tex]
Agora iremos calcular o cofator do segundo elemento:
[tex]A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A} \\\\ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\\\ A_{21} = (-1)^{3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\ A_{21} = -1 \cdot (12-12-4-32-2-9) \\\\ A_{21} = -1 \cdot -47 \\\\ \boxed{A_{21} = 47}[/tex]
Voltando:
[tex]D = -1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{21} \\\\ D = -1 \cdot (-17) + 2 \cdot 47 \\\\ D = 17+94 \\\\ \boxed{\boxed{D= 111}}[/tex]
Olha, o resultado deu 111. Consultando uma calculadora online, ela confirmou. Está certo esse resultado que te passaram?