Resposta :
Pede-se a soma dos 40 primeiros termos de uma PA, da qual sabemos que:
a5 + a9 = 86
e
a11 + a18 = 81.
Agora veja que:
a5 = a1 + 4r
a9 = a1 + 8r
a11 = a1 + 10r
a18 = a1 + 17r
E porque sabemos disso? Porque, conforme a fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n-1)*r ----Ora, se queremos a5, então:
a5 = a1 + (5-1)*r
a5 = a1 + 4r
E assim, com esse mesmo raciocínio, você vai encontrar que a9 = a1+8r; a11 = a1+10r; e a18 = a1+17r.
Bem, dito, isso, vamos fazer as devidas substituições do a5, a9, a11 e a18, ficando:
a1+4r + a1+8r = 86 ----> 2a1 + 12r = 86 ----2a1 = 86-12r ---> a1 = (86-12r)/2 . (I)
e
a1+10r + a1+17r = 81
2a1 + 27r = 81 . (II)
Mas, conforme (I), temos que a1 = (86-12r)/2. Então, vamos substituir, na igualdade (II) acima, o valor de "a1" por (86-12r)/2. Assim, ficamos com:
2*(86-12r)/2 + 27r = 81 -----dividindo "2" do numerador com "2" do denominador, ficamos com:
(86-12r) + 27r = 81 -----retirando os parênteses, temos:
86 - 12r + 27r = 81
86 + 15r = 81
15r = 81 - 86
15r = -5
r = -5/15 -----dividindo numerador e denominador por "5", vamos ficar apenas com:
r = -1/3 <-----Essa é a razão da nossa PA.
Agora, para encontrar o valor de "a1", vamos substituir, na igualdade (I), o valor de "r" por (-1/3).
A igualdade (I) é esta:
a1 = (86-12r)/2 ----- substituinto "r" por (-1/3), temos:
a1 = [86 - 12*(-1/3)]/2
a1 = [86 + 12/3]/2 --------Veja que 12/3 = 4. Então:
a1 = [86 + 4]/2
a1 = [90]/2
a1 = 90/2
a1 = 45 <-----Esse é o valor do primeiro termo (a1) da nossa PA.
Bem, já que temos o primerio termo (a1), que é igual a 45, vamos calcular o último termo (o 40º termo), para podermos calcular qual é a soma dos 40 primeiros termos da nossa PA.
A forma de calcular o 40º termo, é encontrá-lo por meio da fórmula do termo geral "an", que é dada por:
an = a1 + (n-1)*r -------fazendo as devidas substituições para encontrar o 40º termo, temos:
a40 = 45 + (40-1)*(-1/3)
a40 = 45 + (39)*(-1/3)
a40 = 45 - 39/3 -----------veja que 39/13 = 13. Assim:
a40 = 45 - 13
a40 = 32 <-----Esse é o 40º termo (a40) da nossa PA.
Agora vamos para a soma dos 40 primeriso termos da nossa PA, que é dada por:
Sn = (a1 + an)*n/2 -----fazendo as devidas substituições para encontrar a soma dos 40 termos, temos:
S40 = (45+32)*40/2
S40 =(77)*20
S40 = 77*20
S40 = 1.540 <----Pronto. Essa é a resposta. Essa é a soma dos primeiros 40 termos da nossa PA.
a5 + a9 = 86
e
a11 + a18 = 81.
Agora veja que:
a5 = a1 + 4r
a9 = a1 + 8r
a11 = a1 + 10r
a18 = a1 + 17r
E porque sabemos disso? Porque, conforme a fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n-1)*r ----Ora, se queremos a5, então:
a5 = a1 + (5-1)*r
a5 = a1 + 4r
E assim, com esse mesmo raciocínio, você vai encontrar que a9 = a1+8r; a11 = a1+10r; e a18 = a1+17r.
Bem, dito, isso, vamos fazer as devidas substituições do a5, a9, a11 e a18, ficando:
a1+4r + a1+8r = 86 ----> 2a1 + 12r = 86 ----2a1 = 86-12r ---> a1 = (86-12r)/2 . (I)
e
a1+10r + a1+17r = 81
2a1 + 27r = 81 . (II)
Mas, conforme (I), temos que a1 = (86-12r)/2. Então, vamos substituir, na igualdade (II) acima, o valor de "a1" por (86-12r)/2. Assim, ficamos com:
2*(86-12r)/2 + 27r = 81 -----dividindo "2" do numerador com "2" do denominador, ficamos com:
(86-12r) + 27r = 81 -----retirando os parênteses, temos:
86 - 12r + 27r = 81
86 + 15r = 81
15r = 81 - 86
15r = -5
r = -5/15 -----dividindo numerador e denominador por "5", vamos ficar apenas com:
r = -1/3 <-----Essa é a razão da nossa PA.
Agora, para encontrar o valor de "a1", vamos substituir, na igualdade (I), o valor de "r" por (-1/3).
A igualdade (I) é esta:
a1 = (86-12r)/2 ----- substituinto "r" por (-1/3), temos:
a1 = [86 - 12*(-1/3)]/2
a1 = [86 + 12/3]/2 --------Veja que 12/3 = 4. Então:
a1 = [86 + 4]/2
a1 = [90]/2
a1 = 90/2
a1 = 45 <-----Esse é o valor do primeiro termo (a1) da nossa PA.
Bem, já que temos o primerio termo (a1), que é igual a 45, vamos calcular o último termo (o 40º termo), para podermos calcular qual é a soma dos 40 primeiros termos da nossa PA.
A forma de calcular o 40º termo, é encontrá-lo por meio da fórmula do termo geral "an", que é dada por:
an = a1 + (n-1)*r -------fazendo as devidas substituições para encontrar o 40º termo, temos:
a40 = 45 + (40-1)*(-1/3)
a40 = 45 + (39)*(-1/3)
a40 = 45 - 39/3 -----------veja que 39/13 = 13. Assim:
a40 = 45 - 13
a40 = 32 <-----Esse é o 40º termo (a40) da nossa PA.
Agora vamos para a soma dos 40 primeriso termos da nossa PA, que é dada por:
Sn = (a1 + an)*n/2 -----fazendo as devidas substituições para encontrar a soma dos 40 termos, temos:
S40 = (45+32)*40/2
S40 =(77)*20
S40 = 77*20
S40 = 1.540 <----Pronto. Essa é a resposta. Essa é a soma dos primeiros 40 termos da nossa PA.