Ajuda com função do primeiro grau?

A imagem apresenta o gráfico de uma função f de primeiro grau cuja lei é desconhecida e pede o cálculo da expressão f(0) - f(-5).

A observação do gráfico não nos permite visualizar as funções (os valores y) correspondentes a x = 0 e x = -5, e, por isso, deveremos determinar a lei desta função para que possamos descobrí-los e efetuar a expressão pedida.

Temos os seguintes pontos (x, y) demarcados precisamente no gráfico:

• (-1, 3)
• (2, 7)

Sendo esta uma função de primeiro grau, sabemos que ela segue o modelo f(x) = ax + b. Se substituirmos o valor de x por aqueles valores apresentados nos pontos acima, sabemos que obteremos as respectivas imagens nesta função. Substituindo:

[tex]\bullet \ (-1, 3) \\\\ f(x) = ax + b \\ 3 = -1a + b \\\\ \bullet (2, 7) \\\\ f(x) = ax + b \\ 7 = 2x + b \\\\ \begin{cases} -a + b = 3 \\ 2a + b = 7 \end{cases} \\\\\\ \text{Resolvendo o sistema obtido:}[/tex]

[tex]\begin{cases} b = 3 + a \\ 2a + b = 7 \end{cases} \\\\\\ \bullet 2a + (3 + a) = 7 \\ 3a + 3 = 7 \\ 3a = 4 \\ a = \frac{4}{3} \\\\ \bullet b = 3 + \frac{4}{3} \\\\ b = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} \\\\ b = \frac{13}{3}[/tex]

[tex]\text{Assim,} f(x) = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3} \\\\ \bullet f(0) \\\\ f(0) = \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{13}{3} \\\\ f(0) = 0 + \frac{13}{3} \\\\ f(0) = \frac{13}{3} \\\\ \bullet f(-5) \\\\ f(-5) = \frac{4}{3} \cdot (-5) + \frac{13}{3} \\\\ f(-5) = -\frac{20}{3} + \frac{13}{3} \\\\ f(-5) = -\frac{7}{3}[/tex]

[tex]\bullet \ f(0) - f(-5) \\\\ \frac{13}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{13}{3} + \frac{7}{3} = \boxed{\frac{20}{3}}[/tex]

Celio Celio · Answer 2 · 2013-08-06T11:48:40-03:00

Olá, WLuis7.

Como não é possível determinar visualmente no gráfico os valores de f(0), de f(5) e o de x tal que f(x)=0, então devemos obter a equação da reta, para respondermos a estas perguntas.Observando o gráficos, temos dois pontos da reta conhecidos: (-1,3) e (2,7). O procedimento, então, fica simples.

[tex]\text{Coeficiente angular }(m):m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-3}{2-(-1)}=\frac43 \\\\ \text{Coeficiente linear }(p):y = mx + p \Rightarrow 7=\frac43\cdot2+p\Rightarrow \frac{21}3=\frac83+\frac{3p}3\Rightarrow\\13p=3\Rightarrow p=\frac{13}3 \\\\ \text{Equa\c{c}\~ao da reta}: y=mx+p=\frac43x+\frac{13}3 [/tex]

Agora podemos responder as perguntas.

[tex]a) f(0)-f(-5)=-\frac13-[\frac43(-5)-\frac{13}3]=-\frac{\not{13}}3+\frac{20}3+\frac{\not{13}}3\Rightarrow\\\boxed{f(0)-f(-5)=\frac{20}3} \\\\\\ b) f(x)=0\Leftrightarrow \frac43x+\frac{13}3=0\Leftrightarrow \frac43x=-\frac{13}3\Leftrightarrow 4x=-13\Leftrightarrow \boxed{x=-\frac{13}4}[/tex]