Resposta :
Sendo [tex]\text{h}[/tex] a medida da hipotenusa, como um dos ângulos agudos mede [tex]30^{\circ}[/tex], o menor lado terá [tex]\dfrac{\text{h}}{2}[/tex].
Depois disso, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do outro cateto será [tex]\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}[/tex].
Assim, como perímetro é [tex]3\cdot(3+\sqrt{3})[/tex], temos:
[tex]\text{h}+\dfrac{\text{h}}{2}+\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}=3\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]
[tex]2\text{h}+\text{h}+\text{h}\sqrt{3}=6\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]
[tex]\text{h}\cdot(2+1+\sqrt{3})=6\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]
Desse modo, [tex]\text{h}=\dfrac{6\cdot(3+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3})}[/tex]
[tex]\text{h}=\dfrac{(18+6\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3})}{3^2-(\sqrt{3})^2}[/tex]
[tex]\text{h}=\dfrac{54-18\sqrt{3}+18\sqrt{3}-18}{9-3}[/tex]
[tex]\text{h}=\dfrac{36}{6}=6[/tex]
Logo, a resposta é d) par
Depois disso, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do outro cateto será [tex]\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}[/tex].
Assim, como perímetro é [tex]3\cdot(3+\sqrt{3})[/tex], temos:
[tex]\text{h}+\dfrac{\text{h}}{2}+\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}=3\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]
[tex]2\text{h}+\text{h}+\text{h}\sqrt{3}=6\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]
[tex]\text{h}\cdot(2+1+\sqrt{3})=6\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]
Desse modo, [tex]\text{h}=\dfrac{6\cdot(3+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3})}[/tex]
[tex]\text{h}=\dfrac{(18+6\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3})}{3^2-(\sqrt{3})^2}[/tex]
[tex]\text{h}=\dfrac{54-18\sqrt{3}+18\sqrt{3}-18}{9-3}[/tex]
[tex]\text{h}=\dfrac{36}{6}=6[/tex]
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