Resposta :
Roosevelt, boa noite.
Depois de eu e meu irmão Dexter pensarmos, repensarmos, discutirmos e rascunharmos bastante, chegamos à solução abaixo. Caso você tenha o gabarito, informe-nos, por favor, se está certo.
Dados A(3,4) , B(-1,0) e C(5,-4).
A altura do triângulo ABC em relação à base BC é a distância do ponto A até a reta que passa pelos pontos B e C.
Assim:
Chamemos a reta que passa por B e C de r e vamos obtê-la:
[tex]y=ax + b \Rightarrow 0 = -a + b \Rightarrow a=b[/tex]
[tex]y=ax + b \Rightarrow -4 = 5a + b \Rightarrow 6a = -4 \Rightarrow a=-\frac23=b[/tex]
A equação da reta r, que passa pelos pontos B e C é dada, portanto, por:
[tex]y = -\frac23x -\frac23[/tex]
Vamos agora obter a reta perpendicular a r e que passa pelo ponto A e que chamaremos de s:
[tex]m_s.m_r=-1 \Rightarrow m_s .(-\frac23)=-1 \Rightarrow m_s=\frac32[/tex]
[tex]y = m_s.x + p \Rightarrow 4 = \frac32 \cdot 3 + p \Rightarrow p = 4-\frac92=-\frac12[/tex]
A equação da reta s, perpendicular à reeta r é, portanto:
[tex]y=\frac{3}{2}x - \frac12[/tex]
Chamemos de D o ponto onde r e s se encontram:
[tex]-\frac23x-\frac23 = \frac32x - \frac12 \Rightarrow -4x-4 = 9x - 3 \Rightarrow x=-\frac{1}{13}[/tex]
[tex]y = -\frac3{26}-\frac12 = \frac{-3-13}{26} = -\frac{16}{26} = -\frac{8}{13}[/tex]
E, por fim, a distância do ponto A à reta r:
[tex]\therefore d_{AD}=\sqrt{(x_A-x_D)^2+(y_A-y_D)^2}=\sqrt{(3+\frac1{13})^2+(4+\frac8{13})^2}=[/tex]
[tex]=\sqrt{(40/13)^2+(60/13)^2} = \frac{20\sqrt{13}}{13}[/tex] (resposta)
Caso a resposta esteja satisfatória, Roosevelt, não se esqueça de agradecer ao grande Dexter, que me ajudou a finalizar o exercício e a conferir todos os cálculos.