Resposta :
Gab,
[tex]\text{(a) Vamos procurar um conjunto gerador para }\mathbb{V}.[/tex]
[tex]\text{Inicialmente, podemos verificar que, }\forall v \in V,\text{temos que } v=Ax,\text{onde: }[/tex]
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right] \text{ e }x=\left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right][/tex]
[tex]\text{Tomemos }\mathbb{V}'=\{\text{colunas de A}\}=\{(3,2,-2),(4,-4,-4),(-4,-6,2)\}[/tex]
[tex]\text{Para que }\mathbb{V}' \text{ seja um conjunto gerador de }\mathbb{V}, \text{ devem existir }\\
\lambda_1,\lambda_2 \text{ e }\lambda_3, \lambda_i \text{ n\~ao todos nulos}, \text{ tais que }\\
\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=v, \forall v \in \mathbb{V} \Rightarrow[/tex]
[tex](3\lambda_1,2\lambda_1,-2\lambda_1)+(4\lambda_2,-4\lambda_2,-4\lambda_2)+(-4\lambda_3,-6\lambda_3,2\lambda_3)=\\
(3\lambda_1+4\lambda_2-4\lambda_3,2\lambda_1-4\lambda_2-6\lambda_3,-2\lambda_1-4\lambda_2+2\lambda_3)=[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right][/tex]
[tex]\therefore \lambda_1=a,\lambda_2=b \text{ e }\lambda_3=c \text{ satisfazem a igualdade}[/tex]
[tex]\Rightarrow \mathbb{V}' \text{ \'e um conjunto gerador de }\mathbb{V}[/tex]
[tex]\text{(b) Para que }\mathbb{V}' \text{ seja uma base para }\mathbb{V}, [/tex]
[tex]\text{os elementos de }\mathbb{V}' \text{ devem ser linearmente independentes (LI),}[/tex]
[tex]\text{ou seja:}[/tex]
[tex]\text{se }\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=0 \Rightarrow \\ \lambda_1 =\lambda_2 = \lambda_3 = 0[/tex]
[tex]\text{Vejamos se tal condi\c{c}\~ao se verifica:}[/tex]
[tex]\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{array}\right]=0[/tex]
[tex]\text{Como det}\left(\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right]\right)=0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\text{O sistema acima n\~ao possui solu\c{c}\~ao} \Rightarrow \lambda_1 =\lambda_2 = \lambda_3 = 0[/tex]
[tex] \Rightarrow \text{os vetores de } \mathbb{V}' \text{ s\~ao LI} [/tex]
[tex]\therefore \text{Como }\mathbb{V}' \text{ gera }\mathbb{V} \text{ e os vetores de } \mathbb{V}' \text{ s\~ao LI} \\\\ \Rightarrow \mathbb{V}' \text{ \'e uma base para }\mathbb{V}[/tex]