Resposta :
Pede-se o perímetro de um triângulo equilátero, cuja altura é igual à diagonal de um quadrado de lado igual a 9V(2).
Veja que, quando você traça a diagonal do quadrado, que vamos chamar de "h", ela fica sendo a hipotenusa e os lados do quadrado ficam sendo os catetos. Como cada lado do quadrado tem 9V(2), e sabendo que a hipotenusa (h) ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado, temos:
.............__............__
h² = [9V(2) ]² + [9V(2)]²
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h² = 9².V(2)² + 9².V(2)²
...............___...........___
h² = 81.V(2)² + 81.V(2)²
Veja: quem está ao quadrado e está dentro da raiz quadrada, sai de dentro da raiz. Então:
h² = 81.2 + 81.2
h² = 162 + 162
h² = 324
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h = +-V324
h = +-18 cm----Mas, como não há medida negativa para a diagonal do quadrado, então toma-se apenas a raiz positiva e igual a:
h = 18 cm <-----Essa é a medida da diagonal do quadrado.
Agora, vamos para o triângulo equilátero. Tem-se que a altura (a) desse triângulo equilátero é igual à diagonal do quadrado.
Como a diagonal do quadrado mede 18cm, então a altura (a) do triângulo equilátero também medirá 18 cm.
Veja que os 3 lados do triângulo equilátero são iguais. Então vamos chamar cada lado desse triângulo de "x".
Quando você traça a altura (a = 18cm) do triângulo, você vai dividir a base oposta exatamente em dois segmentos iguais a "x/2". E, como um dos lados do triângulo equilátero passa a ser a hipotenusa (x), então so catetos ficam sendo (a = 18cm) e "x/2". E, como a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado, então temos que:
x² = 18² + (x/2)²
x² = 324 + x²/4 ---------mmc = 4 . Assim:
4x² = 4*324 + x²
4x² = 1.296 + x²
4x² - x² = 1.296
3x² = 1.296
x² = 1.296/3
x² = 432
...........___
x = +-V432 ----- veja que 432 = 2^4 .3³ = 2².2².3².3. Então:
..........________
x = +-V2².2².3².3
Veja: quem está ao quadrado e está dentro da raiz quadrada, sai de dentro da raiz. Assim:
..................._
x = +-2.2.3V3
..............._
x = +-12V3 ----mas, como não existe medida negativa para os lados de um triângulo, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a:
............_
x = 12V3 cm <----Essa é a medida do lado do triângulo equilátero procurado.
Agora, vamos saber qual é o seu perímetro. Veja que o perímetro é a soma dos três lados do triângulo. Como o triângulo é equilátero, então ele tem os 3 lados iguais a 12*(raiz quadrada de 3).
Então, o perímetro será, chamando o perímetro de "P":
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P = 12V3+12V3+12V3
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P = 36V3 cm <----Pronto. Essa é a resposta. Esse é o perímetro procurado.