A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que o valor das incógnitas de x e y são respectivamente são 6 e 9.
Teorema de Tales nos triângulos:
Toda reta paralela a quaisquer lados de um triângulo, determinará um novo triângulo semelhante ao primeiro triângulo dado.
Teorema da bissetriz interna:
A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos adjacentes.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf x+y = 15 \\ \\\sf \dfrac{8}{x} = \dfrac{12}{y} \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
Aplicando a propriedade de proporção, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{8}{x} = \dfrac{8+12}{x+y} \implies \dfrac{8}{x} = \dfrac{20}{15} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{8}{x} = \dfrac{\Big/ \mkern -15mu { 20 } \:{}^{ 4 }}{ \Big/ \mkern -15mu { 15 } \:{}^{ 3 } } \implies \dfrac{8}{x} = \dfrac{4}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{\Big/ \mkern -11mu { 8 } \:{}^{ 2}}{x} = \dfrac{\Big/ \mkern -11mu {4 } \:{}^{ 1 }}{3} \implies \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = 2 \cdot 3 \implies x = 6 } $ }[/tex]
Determinando o valor de y, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{12}{y} = \dfrac{8+12}{x+y} \implies \dfrac{12}{y} = \dfrac{20}{15} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{12}{y} = \dfrac{\Big/ \mkern -15mu { 20 } \:{}^{ 4 }}{ \Big/ \mkern -15mu { 15 } \:{}^{ 3 } } \implies \dfrac{12}{y} = \dfrac{4}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{\Big/ \mkern -11mu { 12 } \:{}^{ 3}}{y} = \dfrac{\Big/ \mkern -11mu {4 } \:{}^{ 1 }}{3} \implies \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 3 \cdot 3 \implies y = 9 } $ }[/tex]
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