Resposta :
Usando a Fórmula Resolutiva (Bhaskara ) ou o Método Soma e Produto de raízes obtém-se:
1) x = 2 ou x = 3 (ver gráfico e anexo 1 )
2) x = - 2 ou x = 1/2 ( ver gráfico em anexo 2 )
As Equações completas do segundo grau são do tipo:
[tex]\Large\text{$ax^{2} +bx+c=0~~~~~~~~~~ ~a\neq 0$}[/tex]
E todas podem ser resolvidas através da Fórmula Resolutiva ( Bhaskara)
[tex]\large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex] ou [tex]\large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}$}[/tex]
1)
[tex]\Large\text{$x^{2} -5x+6=0$}[/tex]
Recolher informação
[tex]\Large\text{$a=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=-5$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=6$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=b^2-4ac$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta}=\sqrt{1} =1 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-5) +1}{2\cdot1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+5 +1}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = 3$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{-(-5) -1}{2\cdot1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{+5 -1}{2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} = 2$}}[/tex]
Método da Regra da Soma e Produto das raízes
Usar a fórmula
[tex]\boxed{\Large\text{$ax^{2} -Sx+P=0$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$S=x_{1}+x_{2} =-\dfrac{b}{a} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$P=x_{1}\cdot x_{2}= \dfrac{c}{a} $}[/tex]
Montar um sistema com duas equações e duas incógnitas
Observação
- Zeros. raízes, soluções de uma equação é tudo o mesmo
- [tex]\Large\text{$x_{1}~~~e~~~ x_{2}~~s\tilde{a}o~~os~~zeros~ $}[/tex]
Neste caso:
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1}+x_{2} = -\dfrac{-5}{1} \\ \\\sf x_{1}\cdot x_{2} =\dfrac{6}{1} ~~~~~~~~~~~~(A)\end{cases}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1}+x_{2} = 5\\ \\\sf x_{1}\cdot x_{2} =6 \end{cases}[/tex]
Resolver pelo Método da Substituição
- Primeira equação resolver em ordem a [tex]\Large\text{$x_{1}$}[/tex]
- substituir esse valor na segunda equação.
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1} = 5-x_{2}\\ \\\sf (5-x_{2} )\cdot x_{2} =6 \end{cases}[/tex]
Usar Propriedade distributiva da multiplicação na segunda equação
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1} = 5-x_{2}\\ \\\sf 5\cdot x_{2} -x_{2} \cdot x_{2} =6 \end{cases}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1} = 5-x_{2}\\ \\\sf -(x_{2})^2+5x_{2}-6 =0 \end{cases}[/tex]
Para evitar confusões quanto a nomes de raízes faz-se uma mudança de nome.
No fim volta-se ao que estava.
Na equação do segundo grau que se segue:
[tex]\Large\text{$ -(x_{2})^2+5x_{2}-6 =0~~~~fazer~~x_{2}=k $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ -k^2+5k-6 =0 $}[/tex]
Recolha de informação
[tex]\Large\text{$ a=-1 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ b=5 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ c=-6 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=5^2-4\cdot (-1)\cdot (-6)=25-24=1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta} =\sqrt{1} =1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf k_{1} = \dfrac{-5 +1}{2\cdot (-1)}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf k_{1} = \dfrac{-4}{-2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf k_{1} =x_{2} = 2$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf k_{2} = \dfrac{-5 -1}{2\cdot (-1)}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf k_{2} = \dfrac{-6}{-2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf k_{2} = 3$}[/tex]
Voltando à equação inicial
Para:
[tex]\Large\text{$ \sf k_{1} =x_{2} = 2$}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1}+2 = 5\\ \\\sf x_{2} =2~~~~~~~~~~~~(A)\end{cases}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1} = 5-2=3\ \\\sf x_{2} =2\end{cases}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases}\sf x_{1} = 5-3=2\ \\\sf x_{2} =3\end{cases}[/tex]
Obtém-se os mesmo valores para as raízes desta equação :
- 2
- 3
2)
[tex]\Large\text{$2x^{2} +3x-2=0$}[/tex]
Recolher informação
[tex]\Large\text{$a=2$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=3$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=-2$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=b^2-4ac$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=3^2-4\cdot 2\cdot(-2) =9+16=25$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta}=\sqrt{25} =5 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-3 +5}{2\cdot 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2}{4}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+2\div2}{4\div2}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{1}{2}$}}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{-3 -5}{2\cdot 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{-8}{4}$}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$ \sf x_{2} = -2$}}[/tex]
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação [tex](\neq )[/tex] diferente de
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
