Para resolver essa questão, precisamos entender as condições impostas sobre o subespaço WW e calcular sua dimensão.
Dado p(x)∈R[x]p(x)∈R[x] com grau máximo de 23, podemos escrever p(x)p(x) como:
p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23
O subespaço WW é definido por duas condições:
∫01p(x) dx=0∫01p(x)dx=0
p′′(3)=0p′′(3)=0
Vamos analisar cada condição:
Condição 1: ∫01p(x) dx=0∫01p(x)dx=0
A integral ∫01p(x) dx∫01p(x)dx pode ser expandida em termos dos coeficientes aiai:
∫01p(x) dx=∫01(a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23) dx∫01p(x)dx=∫01(a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23)dx
Cada termo da integral pode ser calculado separadamente:
∫01xk dx=1k+1para k≥0∫01xkdx=k+11para k≥0
Portanto:
∫01p(x) dx=a0∫011 dx+a1∫01x dx+a2∫01x2 dx+⋯+a23∫01x23 dx∫01p(x)dx=a0∫011dx+a1∫01xdx+a2∫01x2dx+⋯+a23∫01x23dx
=a0⋅1+a1⋅12+a2⋅13+⋯+a23⋅124=a0⋅1+a1⋅21+a2⋅31+⋯+a23⋅241
=a0+a12+a23+⋯+a2324=0=a0+2a1+3a2+⋯+24a23=0
Essa é uma equação linear envolvendo os coeficientes a0,a1,a2,…,a23a0,a1,a2,…,a23.
Condição 2: p′′(3)=0p′′(3)=0
Calculando a segunda derivada de p(x)p(x):
p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23p(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a23x23
A primeira derivada é:
p′(x)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+23a23x22p′(x)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+23a23x22
A segunda derivada é:
p′′(x)=2a2+6a3x+12a4x2+⋯+23⋅22a23x21p′′(x)=2a2+6a3x+12a4x2+⋯+23⋅22a23x21
Substituindo x=3x=3:
p′′(3)=2a2+6a3⋅3+12a4⋅32+⋯+23⋅22a23⋅321=0p′′(3)=2a2+6a3⋅3+12a4⋅32+⋯+23⋅22a23⋅321=0
Isso é outra equação linear envolvendo os coeficientes a2,a3,a4,…,a23a2,a3,a4,…,a23.
Dimensão do Subespaço WW
Temos duas equações lineares independentes sobre os coeficientes de um polinômio de grau 23. Portanto, essas duas condições independentes reduzem a dimensão do espaço de polinômios por 2.
A dimensão do espaço de todos os polinômios de grau até 23 é 24. Assim, a dimensão do subespaço WW será:
dimRW=24−2=22dimRW=24−2=22
Portanto, a dimensão de WW é 22.
