Explicação passo-a-passo:
Para calcular a massa total do fio, precisamos integrar a função densidade ao longo do comprimento do fio. Como a densidade é constante e igual a 1 g/cm, a massa será o produto da densidade pelo comprimento do fio. Vamos calcular o comprimento ( L ) da hélice usando a parametrização dada:
[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right) \cdot \left(\frac{dr}{dt}\right)} dt ]
Onde ( \frac{dr}{dt} ) é o vetor tangente à hélice em qualquer ponto ( t ). Calculando ( \frac{dr}{dt} ), temos:
[ \frac{dr}{dt} = (2\cos(t))i - (2\sin(t))j + 3k ]
Então, o comprimento ( L ) será:
[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(2\cos(t))^2 + (-2\sin(t))^2 + 3^2} dt ] [ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4\cos^2(t) + 4\sin^2(t) + 9} dt ] [ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4 + 9} dt ] [ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{13} dt ] [ L = 13^{1/2} t |_{0}^{2\pi} ] [ L = 13^{1/2} (2\pi - 0) ] [ L = 13^{1/2} (2\pi) cm]
Agora, multiplicamos o comprimento ( L ) pela densidade constante ( d = 1 g/cm ) para obter a massa total ( M ):
[ M = dL = (1 g/cm)(13^{1/2}(2\pi) cm) = 13^{1/2}(2\pi) g]
Portanto, a massa total do fio é ( 13^{1/2}(2\pi) g), ou aproximadamente ( 7.2111(2\pi) g) quando arredondamos ( 13^{1/2}) para aproximadamente (7.2111).
