Resposta :
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Explicação passo a passo:
Para encontrar um vetor unitário ortogonal aos vetores \( \mathbf{u} = (2,1,2) \) e \( \mathbf{v} = (1,2,-1) \), primeiro calculamos o produto vetorial entre \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \), que nos dará um vetor ortogonal a ambos.
O produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) é dado por:
\( \mathbf{u} \times \mathbf{v} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & -1 \\
\end{vmatrix} =
(1*(-1) - 2*2)\mathbf{i} - (2*2 - 1*1)\mathbf{j} + (2*1 - 1*2)\mathbf{k}
= (-2 - 4)\mathbf{i} - (4 - 1)\mathbf{j} + (2 - 2)\mathbf{k}
= -6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 0\mathbf{k}
= (-6, -3, 0)
\)
Agora, para tornar esse vetor um vetor unitário, dividimos cada componente pelo módulo do vetor.
O módulo de \( (-6, -3, 0) \) é:
\( ||(-6, -3, 0)|| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 9 + 0} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
Dividindo cada componente por \( 3\sqrt{5} \), obtemos o vetor unitário:
\( \frac{-6}{3\sqrt{5}}\mathbf{i}, \frac{-3}{3\sqrt{5}}\mathbf{j}, \frac{0}{3\sqrt{5}}\mathbf{k}
= (-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}, 0)
\)
Portanto, um vetor unitário ortogonal a \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) é \( (-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}, 0) \).