Resposta :
## Desvendando o mistério dos perímetros: triângulos semelhantes e suas medidas proporcionais
**1. A relação entre triângulos semelhantes:**
Quando dois triângulos são considerados semelhantes, seus ângulos correspondentes são congruentes (iguais) e seus lados homólogos são proporcionais. Isso significa que a razão entre as medidas dos lados homólogos é constante.
**2. Desvendando a proporção entre os lados:**
Na nossa situação, sabemos que a razão entre AB e A'B' é 3. Isso significa que, para qualquer outro par de lados homólogos correspondentes (por exemplo, BC e B'C' ou AC e A'C'), a mesma proporção de 3 será válida.
**3. Perímetro e a soma dos lados:**
O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus três lados. Logo, podemos escrever as seguintes equações para os perímetros dos triângulos ABC e A'B'C':
* **Perímetro ABC = AB + BC + AC**
* **Perímetro A'B'C' = A'B' + B'C' + A'C'**
**4. Usando a proporcionalidade para encontrar o perímetro:**
Substituindo as medidas proporcionais em termos de AB e A'B':
* **Perímetro A'B'C' = 3AB + 3BC + 3AC**
**5. Expressando tudo em função de um único lado:**
Como o perímetro do triângulo ABC é 27 cm, podemos substituir essa informação na equação acima:
* **27 cm = AB + BC + AC**
Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos:
* **81 cm = 3AB + 3BC + 3AC**
Substituindo essa última equação na expressão do perímetro de A'B'C':
* **Perímetro A'B'C' = 81 cm**
**6. Revelando o perímetro do triângulo:**
Portanto, o perímetro do triângulo A'B'C' é de **81 cm**.
**7. Observações importantes:**
* A proporcionalidade entre os lados homólogos em triângulos semelhantes é a chave para resolver esse tipo de problema.
* Ao trabalhar com perímetros, lembre-se que ele é a soma das medidas dos lados do triângulo.
* Se você tiver informações sobre outros lados ou ângulos dos triângulos, poderá usar técnicas de trigonometria para encontrar medidas desconhecidas.