Resposta :
Resposta:
Para a função quadrática \( y = 2x^2 - 12x + 18 \), vamos determinar as raízes, as coordenadas do vértice e o conjunto imagem.
### 1. **Raízes da Equação**
Para encontrar as raízes da equação \( y = 2x^2 - 12x + 18 \), usamos a fórmula quadrática:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Aqui, \( a = 2 \), \( b = -12 \), e \( c = 18 \).
Primeiro, calculamos o discriminante:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
\[ \Delta = (-12)^2 - 4(2)(18) \]
\[ \Delta = 144 - 144 \]
\[ \Delta = 0 \]
Como o discriminante é zero, a equação tem uma raiz dupla:
\[ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{0}}{2(2)} \]
\[ x = \frac{12}{4} \]
\[ x = 3 \]
Portanto, a equação tem uma raiz dupla em \( x = 3 \).
### 2. **Coordenadas do Vértice**
As coordenadas do vértice \( (x_v, y_v) \) de uma parábola \( y = ax^2 + bx + c \) são dadas por:
\[ x_v = \frac{-b}{2a} \]
Substituindo os valores de \( a \) e \( b \):
\[ x_v = \frac{-(-12)}{2(2)} \]
\[ x_v = \frac{12}{4} \]
\[ x_v = 3 \]
Para encontrar \( y_v \), substituímos \( x_v = 3 \) na equação original:
\[ y_v = 2(3)^2 - 12(3) + 18 \]
\[ y_v = 2(9) - 36 + 18 \]
\[ y_v = 18 - 36 + 18 \]
\[ y_v = 0 \]
Assim, as coordenadas do vértice são \( (3, 0) \).
### 3. **Conjunto Imagem**
A função \( y = 2x^2 - 12x + 18 \) é uma parábola com a concavidade voltada para cima (porque \( a = 2 > 0 \)). O vértice da parábola é o ponto mais baixo.
Como o valor mínimo de \( y \) é 0 (no vértice), o conjunto imagem da função é:
\[ \text{Conjunto Imagem} = [0, +\infty) \]
Resumindo:
- **Raízes:** \( x = 3 \)
- **Coordenadas do Vértice:** \( (3, 0) \)
- **Conjunto Imagem:** \( [0, +\infty) \)
De acordo com os dados fornecidos construímos que as raízes são reais e iguais a 3, as coordenadas do vértice são V( 3,0 ) e im(f) = { y ∈ R | ≥ 0 }.
Uma função f de R em R é chamada quadrática ou do 2° grau se, a cada x ∈ R, associa o elemento ( ax² + bx + c ) ∈ R, com a R*, b ∈ R e C ∈ R:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = ax^{2} +bx +c } $ }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 2x^{2} -12x + 18 } $ }[/tex]
Resolução:
As raízes da função.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 2x^{2} -12x + 18 } $ }[/tex]
Fazendo y = 0, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2x^{2} -12x + 18 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = (-12)^2 -\:4 \cdot 2 \cdot 18 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 144 - 144 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 0 } $ }[/tex]
Neste caso, Δ = 0 tem duas raízes reais e iguais.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\, (-12) \pm \sqrt{0 } }{2\cdot 2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{ 12 \pm 0 }{4}\Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{12 + 0}{4} = \dfrac{12}{4} = \:3 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{12-0}{4} = \dfrac{12}{4} =3\end{cases} } $ }[/tex]
Portanto, as raízes da equação são x = 3.
As coordenadas do vértice da função:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 2x^{2} -12x + 18 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{x_V = -\; \dfrac{b}{2a} \implies x_V = \dfrac{12}{4} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x_V = 3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{y_V = -\; \dfrac{\Delta}{4a} \implies y_V = \dfrac{0}{8} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y_V = 0 } $ }[/tex]
Portanto, as coordenadas do vértice da parábola são ( 3, 0 ).
O conjunto imagem.
Portanto, o conjunto imagem da parábola é Im( f ) = {y ∈ R | y ≥ 0}.
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