Resposta :
Tém-se o sistema de equação linear:
[tex]\begin{cases} -4\text{x}+3\text{y}=2 \\ 5\text{x}-4\text{y}=0 \\ 2\text{x}-\text{y}=\text{k} \end{cases}[/tex]
Somando as três equações, temos:
[tex](-4\text{x}+5\text{x}+2\text{x})+(3\text{y}-4\text{y}-\text{y})=(2+0+\text{k})[/tex]
[tex]3\text{x}-2\text{y}=2\text{k}[/tex]
Desta maneira, podemos formar outr sistema, com apenas duas equações:
[tex]\begin{cases} 2\text{x}-\text{y}=\text{k} ~ (\text{i}) \\ 3\text{x}-2\text{y}=2\text{k} ~ (\text{ii}) \end{cases}[/tex]
Multiplicamos a equação [tex](\text{i})[/tex] por [tex]3[/tex] e a [tex](\text{ii})[/tex] por [tex](-2)[/tex] para que tenhamos termos simétricos.
[tex]\begin{cases} (2\text{x}-\text{y}=\text{k}) ~ \cdot 3 \\ (3\text{x}-2\text{y}=2\text{k}) ~ \cdot (-2) \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} 6\text{x}-3\text{y}=3\text{k} \\ -6\text{x}+4\text{y}=-4\text{k} \end{cases}[/tex]
Siplificando os termos semelhantes, temos:
[tex](4\text{y}-3\text{y})=(3\text{k}-4\text{k})[/tex]
Donde, obtemos [tex]\text{y}=-\text{k}[/tex]
Substituindo o valor de [tex]\text{y}[/tex] em [tex](\text{ii})[/tex], tém-se:
[tex]3\text{x}-2(-\text{k})=2\text{k}[/tex]
[tex]3\text{x}=2\text{k}-2\text{k}[/tex]
Donde, segue [tex]\text{x}=0[/tex]
[tex]\text{y}=-\text{k}[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que [tex]x=0~\wedge\text{y}=-\text{k}[/tex].
[tex]\\resolvendo\ primeiramente\ esse\ sistema\ 2x2\\\\\left \{ {{-4x+3y=2} \atop {5x-4y=0}} \right.\\ 1ª linha:x4\ 2ªlinha:x3\\ \\\left \{ {{-16x+12y=8} \atop {15x-12y=0 }} \right.\\ Isso\ implica :\\\ x=-8\ e \ y=10\\ assim , com\ a\ 3ª\ equacao,\ temos\ o\ valor\ de\ k :\\ 2x-y=k---> \ \ \ 2.(-8)-10=k \, portanto:\ k=-16 [/tex]