Resposta :
Conforme o enunciado, temos:
[tex]\text{x}, \text{y} \in\mathbb{N}[/tex]
[tex]\text{mmc}(\text{x}, \text{y})=115[/tex]
[tex]\text{mdc}(\text{x}, \text{y})=214[/tex]
Disso deduzimos que:
[tex]\text{x}\cdot\text{y}=\text{mmc}(\text{x}, \text{y})\cdot\text{mdc}(\text{x}, \text{y})[/tex]
[tex]\text{x}\cdot\text{y}=115\cdot214=24~610[/tex]
Observe que [tex]24~610=230\cdot107+0[/tex]
Como [tex]\text{n}~|~0[/tex], com [tex]\text{n}\in\mathbb{Z}[/tex], segue que, o resto da divisão de [tex]\text{x}\cdot\text{y}[/tex] por [tex]107[/tex] é divisível por [tex]2[/tex], [tex]11[/tex], [tex]1~568[/tex], [tex]11~280[/tex];
Ou melhor é divisível por qualquer inteiro [tex]\text{n}[/tex].
[tex]\textbf{Alternativa E}[/tex]
Pela propriedade
x . y = (mmc) . (mdc)
x . y = 115 x 214 = 24.610
24.610 / 107 = 230 (exato)
Resto = 0
Por defição, Zero é divisível por todo número
Resposta (E)